异或的疑惑

摘要: 异或，有人叫半加、数学系的叫按位模2加

异或的疑惑

异或，XOR，当两数值相同为否，而数值不同时为真。

异或，有人叫半加、数学系的叫按位模2加

交换律：a ^ b = b ^ a;

结合律：a ^ ( b ^ c ) = ( a ^ b ) ^ c

恒等律：a ^ 0 = a

归零律：a ^ a = 0

自反律：a ^ b ^ b = a ^ 0 = a

模2运算

模2运算是一种二进制算法，与四则运算相同，模2运算也包括模2加、模2减、模2乘、模2除四种二进制运算。而且，模2运算也使用与四则运算相同的运算符，即“＋”表示模2加，“－”表示模2减，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。与四则运算不同的是模2运算不考虑进位和借位，即模2加法是不带进位的二进制加法运算，模2减法是不带借位的二进制减法运算。这样，两个二进制位相运算时，这两个位的值就能确定运算结果，不受前一次运算的影响，也不对下一次造成影响。

①模2加法运算定义为：

0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝0

例如0101＋0011＝0110，列竖式计算：

0 1 0 1

＋0 0 1 1

──────

0 1 1 0

②模2减法运算定义为：

0－0＝0 0－1＝1 1－0＝1 1－1＝0

例如0110－0011＝0101，列竖式计算：

0 1 1 0

－ 0 0 1 1

──────

0 1 0 1

③模2乘法运算定义为：

0×0＝0 0×1＝0 1×0＝0 1×1＝1

多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。例如1011×101＝100111，列竖式计算：

1 0 1 1

× 1 0 1

──────

1 0 1 1

0 0 0 0

＋ 1 0 1 1

────────

1 0 0 1 1 1

④模2除法运算定义为：

0÷0＝? 0÷1＝0 1÷0＝? 1÷1＝1

多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。后者按带借位的二进制减法，根据余数减除数够减与否确定商1还是商0，若够减则商1，否则商0。多位模2除法采用模2减法，不带借位的二进制减法，因此考虑余数够减除数与否是没有意义 的。实际上，在CRC运算中，总能保证除数的首位为1，则模2除法运算的商是由余数首位与除数首位的模2除法运算结果确定。因为除数首位总是1，按照模2 除法运算法则，那么余数首位是1就商1，是0就商0。例如1100100÷1011＝1110……110，列竖式计算：

1 1 1 0

────────

1 0 1 1〕1 1 0 0 1 0 0

－1 0 1 1

──────

1 1 1 1

－ 1 0 1 1

──────

1 0 0 0

－ 1 0 1 1

──────

0 1 1 0

－ 0 0 0 0

──────

1 1 0

模2除（按位除）

模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下：

a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。

b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。

c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。

晕！都是异或！疑惑！