彻底理解强连通!!
2015-10-27 13:31
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有向图强连通分量的Tarjan算法 [有向图强连通分量]
在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
直接根据定义,用双向遍历取交集的方法求强连通分量,时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。 [Tarjan算法]
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号!接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。
返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。
附:tarjan算法的C++程序
[c]
view plaincopyprint?
<pre class="cpp" name="code">#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define N 100
#define M 100
struct Edge
{
int v;
int next;
};
Edge edge[M];//边的集合
int node
;//顶点集合
int instack
;//标记是否在stack中
int stack
;
int Belong
;//各顶点属于哪个强连通分量
int DFN
;//节点u搜索的序号(时间戳)
int LOW
;//u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的序号(时间戳)
int n, m;//n:点的个数;m:边的条数
int cnt_edge;//边的计数器
int Index;//序号(时间戳)
int top;
int Bcnt;//有多少个强连通分量
void add_edge(int u, int v)//邻接表存储
{
edge[cnt_edge].next = node[u];
edge[cnt_edge].v = v;
node[u] = cnt_edge++;
}
void tarjan(int u)
{
int i,j;
int v;
DFN[u]=LOW[u]=++Index;
instack[u]=true;
stack[++top]=u;
for (i = node[u]; i != -1; i = edge[i].next)
{
v=edge[i].v;
if (!DFN[v])//如果点v没被访问
{
tarjan(v);
if (LOW[v]<LOW[u])
LOW[u]=LOW[v];
}
else//如果点v已经被访问过
if (instack[v] && DFN[v]<LOW[u])
LOW[u]=DFN[v];
}
if (DFN[u]==LOW[u])
{
Bcnt++;
do
{
j=stack[top--];
instack[j]=false;
Belong[j]=Bcnt;
}
while (j!=u);
}
}
void solve()
{
int i;
top=Bcnt=Index=0;
memset(DFN,0,sizeof(DFN));
memset(LOW,0,sizeof(LOW));
for (i=1;i<=n;i++)
if (!DFN[i])
tarjan(i);
}
int main()
{
freopen("in.txt","r",stdin);
int i,j,k;
cnt_edge=0;
memset(node,-1,sizeof(node));
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&j,&k);
add_edge(j,k);
}
solve();
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",Belong[i]);
}
在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
直接根据定义,用双向遍历取交集的方法求强连通分量,时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。 [Tarjan算法]
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号!接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。
返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。
附:tarjan算法的C++程序
[c]
view plaincopyprint?
<pre class="cpp" name="code">#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define N 100
#define M 100
struct Edge
{
int v;
int next;
};
Edge edge[M];//边的集合
int node
;//顶点集合
int instack
;//标记是否在stack中
int stack
;
int Belong
;//各顶点属于哪个强连通分量
int DFN
;//节点u搜索的序号(时间戳)
int LOW
;//u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的序号(时间戳)
int n, m;//n:点的个数;m:边的条数
int cnt_edge;//边的计数器
int Index;//序号(时间戳)
int top;
int Bcnt;//有多少个强连通分量
void add_edge(int u, int v)//邻接表存储
{
edge[cnt_edge].next = node[u];
edge[cnt_edge].v = v;
node[u] = cnt_edge++;
}
void tarjan(int u)
{
int i,j;
int v;
DFN[u]=LOW[u]=++Index;
instack[u]=true;
stack[++top]=u;
for (i = node[u]; i != -1; i = edge[i].next)
{
v=edge[i].v;
if (!DFN[v])//如果点v没被访问
{
tarjan(v);
if (LOW[v]<LOW[u])
LOW[u]=LOW[v];
}
else//如果点v已经被访问过
if (instack[v] && DFN[v]<LOW[u])
LOW[u]=DFN[v];
}
if (DFN[u]==LOW[u])
{
Bcnt++;
do
{
j=stack[top--];
instack[j]=false;
Belong[j]=Bcnt;
}
while (j!=u);
}
}
void solve()
{
int i;
top=Bcnt=Index=0;
memset(DFN,0,sizeof(DFN));
memset(LOW,0,sizeof(LOW));
for (i=1;i<=n;i++)
if (!DFN[i])
tarjan(i);
}
int main()
{
freopen("in.txt","r",stdin);
int i,j,k;
cnt_edge=0;
memset(node,-1,sizeof(node));
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&j,&k);
add_edge(j,k);
}
solve();
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",Belong[i]);
}
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