一类DP问题的分析（划分DP）

Preface

姑且让我把它叫做划分DP，以Stirling数为引。

Stirling数

第二类Stirling数烂大街了，还是有必要从第一类Stirling数讲起。

第一类

n个各异的小球形成k个非空环排列的方案数

s(n,k)=s(n−1,k−1)+(n−1)∗s(n−1,k)

第一项为该小球单独形成一个环排列的方案数，第二项为该小球插入任何一个小球前面的方案数。

第二类

n个各异的小球分到k个相同的盒子中的方案数。要求盒子非空。

S(n,k)=S(n−1,k−1)+k∗S(n−1,k)

第一项为该小球单独放入一个空盒的方案数，第二项为该小球放入任何一个有球盒子的方案数。

P.S.盒子各不相同只要乘以k！即可。

小结：都是考虑“1对1”的方案实现转移，递推式类似。

NOIP2001数的划分及扩展

原题

题意简述：n个相同的小球分到k个相同的盒子中的方案数。要求盒子非空。

F(n,k)=F(n−1,k−1)+F(n−k,k)

第一项为存在一个盒子中仅有一个小球的方案数，第二项为每个盒子中都有两个及以上小球的方案数。

变形1

n个相同的小球分到若干个相同的盒子中的方案数。要求盒子非空且任意一个盒子中小球数不超过k。

反转问题，把每个盒子中第i个小球放入i号盒，那盒子数不能超过k，ans=∑ki=1f(n,i)

变形2

附加条件：盒子内小球数必须为奇数。

设G(n,k)为盒子内小球数均为偶数的方案数，设F(n,k)为盒子内小球数均为奇数的方案数。

G(n,k)=F(n−k,k)

F(n,k)=F(n−1,k−1)+G(n−k,k)

第一项为存在一个盒子中仅有一个小球的方案数，第二项为每个盒子中都有两个及以上小球的方案数。

变形3

附加条件：盒子内小球数互不相同。

设F(n,k)为方案数。

F(n,k)=F(n−k,k−1)+F(n−k,k)

第一项为存在一个盒子中仅有一个小球的方案数，第二项为每个盒子中都有两个及以上小球的方案数。

变形4

二次幂和问题 POJ 2229

附加条件：每个盒子内的小球数必须为2的幂，(n⩽100,0000)

F(n)=F(n−1)(nand1=1)

F(n)=F(n−2)+F(n/2)(nand1=0)

第一项为存在两个盒子中仅有一个小球的方案数，第二项为每个盒子中都有两个及以上小球的方案数。

小结：还是考虑是否存在 1 的问题，可以结合柱状图进行分析，推导时注意不重不漏。

P.S.有类似变形问题欢迎留言补充，有错误请指正谢谢。