Miller Rabin 算法验证素数 USACO 1.5 回文质数

题意：给定a, b，从小到大输出区间[a, b]中所有的回文质数。当一个质数反过来之后与之前相同时为回文质数。

其实这道题不必用MR算法，直接暴力sqrt(n)判断一个数是否为质数可过。

先说这道题，为什么要用到判断一个数是否为质数。a, b的范围是1亿，所以先筛素数再判断每个素数是否回文数是行不通的。所以要先生成所有的回文数，判断它是否为素数。而且，生成回文数的过程还需要一点点优化：

1.回文数长度必须为奇数，偶数长度回文数仅11为质数，其他均能被11整除。

2.回文数的首位（末位）不得为偶数，不得为5。

然后根据区间[a, b]生成长度为3、5、7的回文数，sqrt(n)判断其是否为素数即可，到这里就可以结束了。

然而通过这道题了解到了Miller Rabin算法，就去看了看。

简述一下就是：

如果n是一个奇素数，那么设n-1 = 2^s * r；

对于一个满足gcd(a, n) == 1的a，若n为奇素数，那么必然存在：

a^r % n == 1 或 a^(2^j * r) % n == n-1 ( j ∈ [0, s-1] )。

不过，仍然有一些合数满足以上过程，所以MR算法就有一定的误判可能性。所以实际操作通常找多个a来判断，减小误判概率。

我这里，只是十分浅显地叙述了一下这个算法的实现过程，理论基础、误判概率计算等等详细内容见百度百科。

Miller Rabin算法：百度百科， wiki百科

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long L;

int a, b;
int t[5] = {2,3,5,7,11}, A[5] = {2,3,7,61,24251};

int Create(int x, int mid)
{
int res = x*10+mid;
while(x) res = res*10+x%10, x /= 10;
return res;
}

L pow(L x, int y, L mod)
{
if(y == 0) return 1;
if(y == 1) return x;
L t = pow(x, y>>1, mod);
if(y&1) return (t*x%mod)*t%mod;
return t*t%mod;
}

bool Prime(int x)
{
int s = 0, r, mod = x--, i, j;
while(!(x&1)) s++, x>>=1;
r = x;

for(i = 0; i < 5; i++)
{
if(pow((L)A[i], r, (L)mod) == 1) continue;
L res = pow((L)A[i], r, (L)mod);
for(j = 0; j < s; j++)
{
if(res == mod-1) break;
res = res*res%mod;
}
if(j == s) return 0;
}
return 1;
}

void Initialize()
{
scanf("%d %d", &a, &b);
for(int i = 0; i < 5; i++)
if(a <= t[i]) printf("%d\n", t[i]);
}

void Create_num(int len, int ed, int x)
{
if(len == ed)
{
for(int i = 0; i <= 9; i++)
{
int num = Create(x, i);
if(a <= num && num <= b && Prime(num)) printf("%d\n", num);
}
return ;
}

if(ed) for(int i = 0; i <= 9; i++) Create_num(len, ed+1, x*10+i);
else for(int i = 1; i <= 9; i+=2) if(i != 5) Create_num(len, ed+1, x*10+i);
}

int main()
{
Initialize();
if(a <= 999 && b >= 100) Create_num(1, 0, 0);
if(a <= 99999 && b >= 10000) Create_num(2, 0, 0);
if(a <= 9999999 && b >= 1000000) Create_num(3, 0, 0);
return 0;
}