旋转和反射

旋转和反射

旋转即为绕一个轴进行旋转，参见博文“三维旋转基础”，这里主要讨论反射，但是反射与旋转也存在一定的联系。

一个平面内的旋转可以通过组合一组的反射形成，如下图所示



直线L1和L2的夹角为a，角点为O，一点P经过L1反射得到P’，然后再经过L2反射得到P’’，这个时候POP’’的夹角为2a（等腰三角形被中垂线分割即可证明）。

现在定义绕原点旋转一个角度a为R(a)。同时对于一条通过原点并且与正X轴夹角为a的直线L，令它的反射为Ref(a)。二维形式下对应的矩阵分别为



反射矩阵Ref的证明参见下图



上图中，点P由直线OL进行反射得到P’，OL与x轴的夹角为θ，OP与x轴的夹角为β，OL与OP的夹角为α，可知经过反射后OP’与x轴的夹角为(θ+α)。令OP的长度为H，有：

x = Hcos(β)

y = Hsin(β)

θ = α + β

x’ = Hcos(θ+α) = Hcos(2θ-β) = Hcos(2θ)cos(β) + Hsin(2θ)sin(β) = cos(2θ)x + sin(2θ)y

y’ = Hsin(θ+α) = Hsin(2θ-β) = Hsin(2θ)cos(β) - Hcos(2θ)sin(β) = sin(2θ)x - cos(2θ)y

=> [x’ y’]’ = Ref(θ)*[x y]’ = [cos(2θ) sin(2θ);sin(2θ) - cos(2θ)]*[x y]’

=> Ref(θ)= [cos(2θ) sin(2θ);

sin(2θ) -cos(2θ)];

二 旋转矩阵和反射矩阵特性

1旋转矩阵和反射矩阵都是正交矩阵

2 旋转矩阵的行列式值为+1，反射矩阵的行列值为-1

3 旋转矩阵R(θ)的逆矩阵为R(-θ)，反射矩阵的逆矩阵为其本身

4 旋转矩阵和反射矩阵可以相互转换



旋转矩阵和反射矩阵的这些特性推广到三维同样适用。