三角形拆分平面

三角形
Description

用N个三角形最多可以把平面分成几个区域?

 

Input

输入数据的第一行是一个正整数T(1<=T<=10000),表示测试数据的数量.然后是T组测试数据,每组测试数据只包含一个正整数N(1<=N<=10000).

 

Output

对于每组测试数据,请输出题目中要求的结果.

 

Sample Input

2

1

2

 

Sample Output

2

8

【解析】

这是一道递推类型的题目，解题要点就是找规律！没有其他途径。

首先来总结一下直线、折线、平面平分平面问题：

1、        直线：一条直线将一个平面分为2块，两条直线可以将一平面分为4块，那三条、四条……N条直线呢？我们不难发现，N条直线要想将一平面尽可能多的拆分，这N条直线必修两两相交且不交与同一点！由下图我们可以发现：第n条直线要是切成的区域数最多，这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+（n-2）个区域。则可得递推公式：

           f(n)=f(n-1)+ 2 + (n – 2)

=f(n-1) + n

               =f(n-2)+(n-1)+n

                 ……

                =f（1） + 1+2+……+n

                =n(n+1)/2+1

注：f（0） = 1；

2、        折线：根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。则可得递推公式：

f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

                =f(n-1)+4(n-1)+1

               =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

                ……

                 =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)  

                 =2n^2-n+1

3、封闭曲线：题目大致如设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。当n-1个圆时，区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，则第n个圆被分为2（n-1）段线段，增加了2（n-1）个区域。则递推公式为：     f(n)=f(n-1)+2(n-1)    

=f(1)+2+4+……+2(n-1)

     =n^2-n+2

4、        平面：由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？当有n-1个平面时，分割的空间数为f（n-1）。要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g（n-1）个区域。（g（n）为（1）中的直线分平面的个数）此平面将原有的空间一分为二，则最多增加g（n-1）个空间。则递推公式为：

           f=f(n-1)+g(n-1)    ps:g(n)=n(n+1)/2+1

              =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

                ……

               =f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

               =2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）

               =(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

                =(n^3+5n)/6+1

5、        三角形：三角形问题和折线问题大同小异，首先，当第n个三角形中的一条边只能和（n – 1）三角形中的三条边中的两条边相交，此时增加了（2（n-1） - 1） * 3条线段，因为三角形有三个角，所以当为n时，增加的区域为（2（n-1） - 1） * 3 + 3,化简为：6*（n-1）,则通项公式为：

           f(n) =f(n-1) +（2（n-1） - 1） * 3 +3

                 = f(n-1) + 6*(n-1)

【代码】

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

    int t, n, num[10005];

    num[1] = 2;

    for(int i = 2;i < 10001; i++)

        num[i] = num[i - 1] + (2*(i-1) - 1)*3 +3;

    cin >> t;

    while(t--)

    {

        cin >> n;

        cout << num
<< endl;

    }

    return 0;

}