自然数幂之和

简单的说，问题就是：不同的问题随着k的大小变化解法也要求相应的进化。zoj A very easy taskhttp://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=1864相关数据： (0 <= n <= 1050,1 <= k <= 100)

二项式展开：
进一步得到：
把n变成n-1,n-2,''',1：

上式累加：

换元：

k不断减小，直到递归到k=1，那么S(n,1)=(n+1)n/2; 时间复杂度：O(n^2)

import java.util.*;
import java.math.BigInteger;
public class Main {
static final int N=110;
static BigInteger []ans=new BigInteger
;
static BigInteger [][] C=new BigInteger

;
static void init(){
for(int i=1;i<N;i++){
C[i][0]=C[i][i]=BigInteger.ONE;
for(int j=1;j<i;j++){
C[i][j]=C[i-1][j-1].add(C[i-1][j]);
}
}
}
static BigInteger solve(BigInteger n,int k){
if(ans[k].compareTo(BigInteger.valueOf(-1))!=0){
return ans[k];
}
if(k==1){
ans[k]=(n.add(BigInteger.ONE)).multiply(n).divide(BigInteger.valueOf(2));
return ans[k];
}
BigInteger t=BigInteger.ONE,temp=BigInteger.ZERO;
for(int i=0;i<k+1;i++){
t=t.multiply(n.add(BigInteger.ONE));
}
t=t.subtract(n.add(BigInteger.ONE));
for(int i=1;i<k;i++){
temp=temp.add(C[k+1][k+1-i].multiply(solve(n,i)));
}
t=t.subtract(temp);
ans[k]=t.divide(BigInteger.valueOf(k+1));
return ans[k];
}
public static void main(String[] args) {
init();
BigInteger n;
int k;
Scanner cin=new Scanner (System.in);
while(cin.hasNext()){
n=cin.nextBigInteger();
k=cin.nextInt();
for(int i=0;i<N;i++){
ans[i]=BigInteger.valueOf(-1);
}
System.out.println(solve(n,k));
}

}

}

51nod 1228 序列求和

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1228

相关数据：(1 <= N <= 10^18, 1 <= K <= 2000)

T(n) = n^k，S(n) = T(1) + T(2) + ...... T(n)。给出n和k，求S(n)。

例如k = 2，n = 5，S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55。由于结果很大，输出S(n) Mod 1000000007的结果即可。分析：有5000case，自然数幂之和的普通解法O(k^2)，故另辟蹊径。借助ACdreamer大神的思路，该问题和伯努利数联系。有这样的等式：顺便回忆了一下逆元的相关知识，万能的求解，这里需要K=1-->2000，k+1 mod 1000000007的逆，可以使用递推逆元的方法预处理：相关证明：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787组合数C(n,m)同样预处理。最后的伯努利：mod操作，小心又小心，不要少加%mod。

import java.util.*;
public class Main {
static final int N=2005,mod=1000000007;
static long [][]C=new long

;
static long []inv=new long
,B=new long
,nadd1=new long
;
static void initC(){
C[0][0]=1;
for(int i=1;i<N;i++){
C[i][0]=C[i][i]=1;
for(int j=1;j<i;j++)
C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
}
}
static void initinv(){
inv[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++){
inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
}
static void initB(){
B[0]=1;
for(int i=1;i<N;i++){
if(i==N-1) break;
for(int j=0;j<i;j++){
B[i]=(B[i]+C[i+1][j]*B[j]%mod)%mod;
}
B[i]=B[i]*(-inv[i+1]);
B[i]=(B[i]%mod+mod)%mod;
}
}
public static void main(String[] args) {
int t,k;
long n;
Scanner cin=new Scanner (System.in);
t=cin.nextInt();
initC();
initinv();
initB();
while(t>0){
t--;
n=cin.nextLong();
n=n%mod; //!!
k=cin.nextInt();
nadd1[0]=1;
for(int i=1;i<=k+1;i++){
nadd1[i]=nadd1[i-1]*(n+1)%mod;
}
long ans=0;
for(int i=1;i<=k+1;i++){
ans=(ans+C[k+1][i]*B[k+1-i]%mod*nadd1[i]%mod)%mod;
}
ans=(ans*inv[k+1]%mod+mod)%mod;
System.out.println(ans);
}
}

}

当k达到万级时，又是一个工程，我还得继续学习。。。||-_-