Camera Calibration 相机标定：原理简介（五）

5 基于2D标定物的标定方法

基于2D标定物的标定方法，原理与基于3D标定物相同，只是通过相机对一个平面进行成像，就可得到相机的标定参数，由于标定物为平面，本身所具有的约束条机，相对后者标定更为简单。经典算法为Z. Zhang(PAMI, 2000) A Flexible New Technique for Camera Calibration。其算法已经被收入Opencv(2004)，最常用的标定图案是棋盘格图案，如下图：

5.1 单应性矩阵

对于2D标定平面，抑或称为标定板，不妨假设，平面上点的增广齐次向量满足，同时对于旋转矩阵的每一列表示为一个列向量记为，则根据相机的投影方程：

因为点仍表示的是三维空间点坐标，只是由于标定使用平面的特殊性，将省略，因此我们仍然使用统一的符号表示，与其对应表示该点的其次向量，则公式可简记为：

被称为单应性矩阵（Homography matrix）。

5.2 内参约束条件

对于单应性矩阵，我们也将其按照列向量的方式表示：， 则有：

其中，是一个任意的系数，因为是正交向量，因此有：

对于一个单应性矩阵，公式是两个内参的基本约束。单应性矩阵有9个元素，但可以由8个独立不相关的元素表示，也就是说投影变换有8个自由度，而我们只有6个外参元素（3个旋转元素和3个平移元素），因此两个内参约束条件的意义就在于此。在原理简介（三）中，我们已经了解到描述的就是IAC（Image of the absolute conic），后文将对此进行解释。

5.3 几何解释

现在让我们来分析公式与绝对圆锥曲线的关系。在像空间坐标系中，存在下面的等式：

当时就是我们前面解释的改点位于无穷远处。我们想象标定板所在平面与该无穷远处平面相交于一点，则点和是相交直线上的两个特殊点，线上的其他点都可以用这两个点线性表示：

现在让我们看一下上述的交线和绝对圆锥曲线的交点，原理简介（三）已经介绍点满足：，也即（与正交）。因此，公式可写为：

其在图像中的投影点为：

因为点位于IAC上，有：

因此等式左边的实部与虚部都为0，也就是公式这两条约束条件。

5.4 闭合解

现在开始讲解如何高效求解本方法的相机标定问题。做法是，首先获得分析解，然后初始估计值基于最大似然准则进行非线性优化，这些都将逐步进行讲解。

令：

因此可以看出，是一个对称矩阵，由六个元素组成：

对于的第列记为：，则有：

其中，。因此，对于公式可以表达为齐次方程：

如果采集了张图像，可以列出方程组：

其中，是一个的矩阵。如果，一般就能获得的唯一解；如果，我们可以利用偏斜度的约束条件，将添加到方程组中；如果那么就只能获得相机的内参。

一旦确认后，就可以获得相机内参。将公式中的矩阵添加一个任意系数：，可得到：

内参矩阵获得后，根据公式外参也就很快就可以得到：

其中，。

由于噪声的存在，这样求解的矩阵一般并不具备旋转矩阵的特性，更好的求解方法是通过奇异值分解的方法，可以参考Z. Zhang的论文。

5.5 最大似然优化

与基于3D标定物的优化方法类似，这里仍然使用最大似然法进行优化，也就是基于噪声是不相关且独立分布的的假设，对于张图像，其中包含个点，优化方程为：

其中，是三维点在图像中的投影点。非线性优化过程是，首先需要获得内参矩阵的估算值，然后利用上面的描述的求解方法，获得，利用LM迭代优化方法，使得公式的求和最小化。

5.6 镜头畸变

在原理简介（四）4.6中已经对镜头畸变模型进行了讲解，这里与之原理一样。以径向畸变为例，为了获得较为理想准确的像点坐标值，则有方程：

同样当个点在张图像中时，可以组成方程组，其中，其线性最小二乘解为：

当获得后，我们就可以将公式的非线性优化调整为：

结束语：

基于2D标定物的标定方法流程为：