数值分析：Hermite多项式

http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/49366047

Hermite埃尔米特多项式

在数学中，埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。

前4个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像

The Hermite polynomials

are set of orthogonal polynomials over the domain


with weighting function

, illustrated above for

,
2, 3, and 4. Hermite polynomials are implemented in the Wolfram Language asHermiteH[n,x].

The Hermite polynomial

can be defined by the contour integral

(1)

where the contour encloses the origin and is traversed in a counterclockwise direction (Arfken 1985, p. 416).

Hermite多项式，其正交域为(-∞, +∞)，其一维形式是



其中，Hk(x)前面的乘式为正交归一化因子，为计算简便可省略。

前10个Hermite多项式

H_0(x) =
1

H_1(x) =
2x

H_2(x) =
4x^2-2

H_3(x) =
8x^3-12x

H_4(x) =
16x^4-48x^2+12

H_5(x) =
32x^5-160x^3+120x

H_6(x) =
64x^6-480x^4+720x^2-120

H_7(x) =
128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x

H_8(x) =
256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680

H_9(x) =
512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x

H_(10)(x) =
1024x^(10)-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240

The values

may be called Hermite numbers.When ordered from smallest to largest powers, the triangle
of nonzero coefficientsis 1; 2; -2, 4; -12, 8; 12, -48, 16; 120, -160, 32; ... (OEISA059343).

Hermite多项式的性质

多项式Hn 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n。

正交性

多项式Hn 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。


（概率论）

（物理学）
也就是说，当m ≠ n 时：



除此之外，还有：



（概率论）


（物理学）
其中

是克罗内克函数。

从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

完备性

在所有满足



的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：

埃尔米特微分方程

概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:



方程的的边界条件为：

应在无穷远处有界。

其中

是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取

∈

。对于一个特定的本征值

，对应着一个特定的本征函数解，即

。

而物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:



其本征值同样为

∈

，对应的本征函数解为

。

以上两个微分方程都称为埃尔米特方程。

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Hermite Polynomial

wikipedia
埃尔米特多项式