HDU 5528 Count a × b 纪念长春站的遗憾

18日的长春现场赛已经过去4天。虽然说拿到学校的首届银牌还是很值得高兴的，但B题作为这场比赛唯一的数论题，由于时间不够未能AC我实在是感到遗憾。最后半个小时我只推公式推到了sqrt分解log求约数再处理的复杂度，如果再多一点点时间，如果思维再更快点，也许能推出最简化的公式，也许就能6题，就能绝杀金牌。。。可惜没有如果，感觉自己能力还不够，就这样与金牌失之交臂。下午重整了一下大脑，回想起赛场上推题的过程，又花了半个多小时，终于把它做完——虽然题目还没有挂出来等我提交，不过我相信一定是能AC的！——完全的sqrt分解质因数复杂度，不带任何其它包括求约数的log。这样1s跑2W组数据也是能过的吧！

感慨就说这么多——看看这题怎么做。

当然，这种数论题一般就是公式题没错了。那么重点就是——推公式。

先看看f(x)吧。符号打的麻烦，直接手写上图。



然而，如果只推到这里，用约数去算的话，还是会超时的——因为1e9范围内的欧拉函数不可能去打表，还得再用分解质因数方法求。这样的话这题1s是过不去的会TLE。于是利用g(x)的特殊性——公式便可以神奇地继续简化，去掉欧拉函数和求约数！

继续手写上图。



上式中h(n)表示n的约数个数——这显然是分解质因数的过程就可以求出来的。

那么还剩最后一点——n的约数的平方和怎么算。有人肯定会说这个枚举约数就可以了吧！然而我会告诉你这还不够！那么这个还能简化吗？答案当然是肯定的——细细一想，n的约数和我们都知道可以边分解质因数边求，为什么呢？原因很简单，因为约数和是积性函数！！既然这样，为什么平方和就不能是积性函数呢！然后你会发现其实约数的平方和仍然是积性函数。于是这样我们把约数平方和也在分解质因数的过程中求出来了，这样这个题就达到了最简单的复杂度——只有sqrt分解质因数了。约数平方和的公式就不推了，推导过程类似于约数和。在推导过程中你会发现顺便还能推广一下，约数的k次方和也仍然是积性函数！

最后，这道题我就直接给出最后的公式吧！仍然上图。。。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
using namespace std;

const int MAX = 1e5 + 5;
bool u[MAX];
int prime[MAX], num;

void initial()
{
memset(u, true, sizeof(u));
num = 0;
for(int i = 2; i < MAX; i++)
{
if(u[i])
prime[num++] = i;
for(int j = 0; j < num; j++)
{
if(i*prime[j] >= MAX)
break;
u[i*prime[j]] = false;
if(i%prime[j] == 0)
break;
}
}
}

int n;

void input()
{
scanf("%d", &n);
}

void solve()
{
long long ans = 1, other = n;
for(int i = 0; prime[i]*prime[i] <= n; i++)
{
if(n%prime[i] == 0)
{
int cnt = 1;
long long mul = 1;
while(n%prime[i] == 0)
{
mul *= prime[i];
cnt++;
n /= prime[i];
}
other *= cnt;
mul *= prime[i];
long long a = (mul - 1)/(prime[i] - 1), b = mul + 1, c = prime[i] + 1;
ans *= ((a/c)*(b/c)*c + a%c*(b/c) + b%c*(a/c)); //防溢出计算(mul^2 - 1)/(prime[i]^2 - 1)
}
}
if(n > 1)
{
other *= 2;
ans *= (1 + (long long)n*n);
}
printf("%lld\n", ans - other);
}

int main()
{
initial();
int T;
scanf("%d", &T);
for(int t = 1; t <= T; t++)
{
input();
solve();
}
return 0;
}