3D数学基础至四元数

3D数学在游戏开发中是一个基本功，这里的数学主要指的是向量，矩阵，欧拉角，四元素等等这些，将来还要讲讲光照这些。

在讲四元数之前，本文假定读者已经了解复数的相关知识，如果没有，麻烦你先去看一下复数的相关知识，然后来看这篇文章。

首先，四元数是什么？它是用来干啥的？

四元数就是一个超复数，那啥又是超复数呢？我们一般的复数都是一个实部+一个虚部，例如：z=x+yi。但是超复数它是一个实部加上三个虚部，例如：q=q0+q1*i+q2*j+q*k.

在这里，q1，q2，q3即使向量又是变量。i，j，k他们是虚数基，可以将他们视作虚坐标中，三个相互垂直的单位向量，而且：i*j*k=-1.

纯向量表示的四元数：q=<q0,q1,q2,q3>

四元数的操作：

1.四元数的加减法和复数的加减法是相同的。

2.加法逆元素和加法恒等元：

加法逆元素是指：与q相加，而且结果为0，它就是-q。

q=q0+qv，加法逆元素：-q=-q0-qv，其中qv=q1*i+q2*j+q*k。

加法恒等元就是0.

3.乘法：

q=q0+qv,  p=p0+pv

则：q*p=(q0*p0-(pv*qv))+(p0*qv+q0*pv+pvXqv)，注意，这个里面有向量的点成也有叉乘。

而且，乘法恒等元就是q=<1,0,0,0>

4.共轭四元数：

对于一个四元数q=q0+qv，它的共轭四元数就是将虚部的符号取反：q*=q0-qv=q0-q1*i-q2*j-q*k.

而且，四元数和它共轭的乘积就是各个元素的平方相加。

5.四元数范数：q=q0+qv，则，|q|=各元素的平方和开根号。（打平方有点费事，就直接用语言来描述了）

6。倒数（q-1）

q*q-1=1=q-1*q,两边同时乘以q*(共轭),则：(q*q-1)*q*=(q-1*q)*q*=q*,so:q-1*(q*q*)=q*,又因为:q*q*=|q|2,则：q-1=q*|q|2.

如果，q是一个单位四元数，并且|q|=1，则：q-1=q*.

好了，今天我们先是回答了开篇我们提出的第一个问题，什么是四元数。下一篇我们回答四元数是用来干啥的！