N个几点的二叉树有多少种形态
2015-10-21 10:28
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拿到这个题,首先想到的是直接写出表达式肯定不行,所以有必要从递推入手。由特殊到一般,归纳法么~而且二叉树离不开递推这个尿性。。。
注意:这里要求的是二叉树有多少形态,所以每个节点的值是不考虑的,假设有两个节点:A,B。A的值是2,B的值是5。则A的左孩子是B和B的左孩子是A其实是一种形态。
先考虑只有一个节点的情形,设此时的形态有f(1)种,那么很明显f(1)=1
如果有两个节点呢?我们很自然想到,应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么,如果固定一个节点后,有两种情况,一是左子树还剩一个节点,此刻类型数量为f(1),第二种情况是右子树生一个节点,此刻类型数量为f(1),固有f(2) = f(1) + f(1)
如果有三个节点呢?我们需要考虑固定两个节点的情况么?当然不行,为什么?
因为当节点数量大于等于2时,无论你如何固定,其形态必然有多种,而在这多种基础之上你如何安排后续剩下的节点呢?所以必须挑出这个误区。
回到二叉树的定义,二叉树本质上就是一个递归的形式,左子树,右子树,根节点。所以根节点应该不变,需要递归处理的是左右子树。
也就是说,还是考虑固定一个节点,即根节点。好的,按照这个思路,还剩2个节点,那么左右子树的分布情况为2=0+2=1+1=2+0。
所以有3个节点时,递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2). (注意这里的乘法,因为左右子树一起组成整棵树,根据排列组合里面的乘法原理即可得出)
那么有n个节点呢?我们固定一个节点,那么左右子树的分布情况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = ... = 1 + n-2 = 0 + n-1
OK。递归表达式出来了f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)
观察一下这个表达式,嗯,和我们之前见过的递归表达有一点区别,递推层级为n的时候,更多的是考虑前一步(n-1),或者前两步(n-1)和(n-2)。
但是这里却考虑到所有的情况,即1到n-1。
最后说明一下,这个表达式有一个学名,叫做Catalan数。上面我们没有定义f(0)。如果把f(0)也考虑进去,显然没有节点也只有一种情况,即f(0)=1
标准表达式为f(n) = f(n-1)f(0) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)f(0)
前几个数为1,1,2,5,14,42,132。
此外,还有一个通项公式为1/(n+1) * C(n, 2n) = C(n, 2n) - C(n-1, 2n) , n = 0,1,2,...
有兴趣的同学可以参考组合数学相关书籍,这里就不累述其证明和推导了。
注意:这里要求的是二叉树有多少形态,所以每个节点的值是不考虑的,假设有两个节点:A,B。A的值是2,B的值是5。则A的左孩子是B和B的左孩子是A其实是一种形态。
先考虑只有一个节点的情形,设此时的形态有f(1)种,那么很明显f(1)=1
如果有两个节点呢?我们很自然想到,应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么,如果固定一个节点后,有两种情况,一是左子树还剩一个节点,此刻类型数量为f(1),第二种情况是右子树生一个节点,此刻类型数量为f(1),固有f(2) = f(1) + f(1)
如果有三个节点呢?我们需要考虑固定两个节点的情况么?当然不行,为什么?
因为当节点数量大于等于2时,无论你如何固定,其形态必然有多种,而在这多种基础之上你如何安排后续剩下的节点呢?所以必须挑出这个误区。
回到二叉树的定义,二叉树本质上就是一个递归的形式,左子树,右子树,根节点。所以根节点应该不变,需要递归处理的是左右子树。
也就是说,还是考虑固定一个节点,即根节点。好的,按照这个思路,还剩2个节点,那么左右子树的分布情况为2=0+2=1+1=2+0。
所以有3个节点时,递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2). (注意这里的乘法,因为左右子树一起组成整棵树,根据排列组合里面的乘法原理即可得出)
那么有n个节点呢?我们固定一个节点,那么左右子树的分布情况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = ... = 1 + n-2 = 0 + n-1
OK。递归表达式出来了f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)
观察一下这个表达式,嗯,和我们之前见过的递归表达有一点区别,递推层级为n的时候,更多的是考虑前一步(n-1),或者前两步(n-1)和(n-2)。
但是这里却考虑到所有的情况,即1到n-1。
最后说明一下,这个表达式有一个学名,叫做Catalan数。上面我们没有定义f(0)。如果把f(0)也考虑进去,显然没有节点也只有一种情况,即f(0)=1
标准表达式为f(n) = f(n-1)f(0) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)f(0)
前几个数为1,1,2,5,14,42,132。
此外,还有一个通项公式为1/(n+1) * C(n, 2n) = C(n, 2n) - C(n-1, 2n) , n = 0,1,2,...
有兴趣的同学可以参考组合数学相关书籍,这里就不累述其证明和推导了。
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