威尔逊定理

讲解过素数判定之后，老师又讲了一个威尔逊定理，挺有意思的，竟然是判断素数的定理，还是充分必要条件！。。然并卵，判定增长是指数级的，并没有什么实用价值。。不过还是总结一下这个学院派的定理吧。。。。也不知道猴年马月能用上，不过多知道一条定理总是好的！

定理内容：当( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 时，p为素数。其逆定理也正确。定理的证明这里从略，下面主要讲一下它的应用。

根据威尔逊定理，想要判断一个数是否是素数，只需要从1到比该数小1的数统统乘起来，然后加1，得到的和如果能整除该数，则该数就是一个素数。这个判定方法虽然是判定素数的充要条件，但是并没有太多的实用价值：其判定时需要的计算量成指数级增长。例如判定41243是否是一个素数，就需要计算1*2*3*4...41241*41242.且不说乘法计算下来的时间问题了，就是想找一个空间存储计算得到的值就是一个几乎难以解决的问题。

　　　不过关于威尔逊定理有一些推论：形如4x＋1的质数，一定可以表示为两个整数的平方和，而且表达方法是唯一的；

而形如4x－1的质数，不可能是两个整数的平方和。

-----------------------------------------

质数　 4x＋1型＝a2＋b2 4x－1型

　　3　 　　 　 4×1－1

5 4×1＋1＝22＋12

　　7　 　　 　 4×2－1

11 　　　　　　　　　　 4×3－1

　 13 4×3＋1＝32＋22

　 17 　4×4＋1＝42＋12

19 　　　　　　　　　　 4×5－1

23 　 　　 　　　　　　4×6－1

29 　4×7＋1＝52＋22

31 　　 　　　　　　 4×8－1

37 4×9＋1＝62＋12

41 4×10＋1＝52＋42

43 　　　 　　　　　 4×11－1

------------------------------------------

我们知道大于3的奇数都能写成4x+1和4x-1(其实就是4k+3) 的形式，所以，威尔逊定理的这个推论，覆盖了2以外所有的质数！这大大的增加了人们对素数的认识程度！

曝一道习题吧：威尔逊定理的应用。

HDU 2973 YAPTCHA

此题运用威尔逊定理分析之后，实际上求得是1~n之间素数的个数，由于题目中t的值较大，这里可以先将1~106之间的素数用筛法筛出来，然后直接线性时间内输出结果即可。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int MAXN = 1e6+10;
bool u[3*MAXN];                       //若i为素数则标记为1.；之所以乘3,是为了保证筛得的数够u[3*i+7]用
int prime[3*MAXN], cnt = 0;           //cnt记录素数个数
int ans[MAXN], t, n;

int main()
{
memset(u, true, sizeof(u));

//这一步的核心是筛法求素数
for(int i=2; i<3*MAXN; ++i)
{
if(u[i]) prime[cnt++] = i;    //用prime数组记录素数
for(int j=0; j<cnt && i*prime[j]<3*MAXN; ++j)
{
u[i*prime[j]] = false;    //把素数prime[j]的i倍的数全部筛掉
if(0 == i%prime[j]) break;//符合该条件的i已经标志prime[i]=0,故无需重复标记
}
}

//这一步的核心是威尔逊定理，可以推出简单化结论
ans[0] = 0;
for(int i=1; i<MAXN; ++i)
{
ans[i] = ans[i-1] + u[3*i+7];//若3i+7为素数，则该项的值为1，就在Sn=S(n-1)+1.
}

scanf("%d", &t);
while(t--)
{
scanf("%d", &n);
printf("%d\n", ans
);
}
return 0;
}