扩展欧几里得 【记录】

原始的欧几里得算法只能求解gcd(a, b)，有两种写法

迭代写法：

LL gcd(LL a, LL b)
{
LL t;
while(b)
{
t = b;
b = a%b;
a = t;
}
return a;
}

递归写法：

LL gcd(LL a, LL b){
return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

扩展欧几里得算法应用：

定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使d = a*x+ b*y。

定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

对a*x + b*y = gcd(a, b) = d，求解gcd(a, b)，x和y。 

求出的x和y可能是负数或0，但是|x| + |y|最小。

扩展后，可以求解a*x + b*y = c中的x和y，其中c % d == 0才有解。

代码：

//求解ax + by = gcd(a, b) = d，可以求出x和y。
//x和y可能是负数或者0 且求出的|x| + |y|最小
void gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
{
if(!b)
{
d = a;
x = 1;
y = 0;
}
else
{
gcd(b, a%b, d, y, x);
y -= x * (a / b);
}
}

计算模n下a的逆元，不存在返回-1。

LL inv(LL a, LL n)//计算%n下 a的逆。如果不存在逆return -1;
{
LL d, x, y;
extend_gcd(a, n, d, x, y);
return d == 1 ? (x + n) % n : -1;
}

注意：

若 a == b (mod n) 能推出下面2条等式

1：(a+c) == b+c (mod n)

2：ac == bc (mod n) （但 ac == bc(mod n) 不能推出 a == b(mod n)）