数据结构考研复习--线性表3（约瑟夫环）

约瑟夫环这个在一开始看的时候是一个相当蛋疼的问题，本节将为大家讲述约约瑟夫环利用循环链表以及递归来进行求解

**约瑟夫环问题的原来描述为，设有编号为1，2，……，n的n(n>0)个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈，再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈为止。当任意给定n和m后，设计算法求n个人出圈的次序。 稍微简化一下。

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

思路：容易想到的就是用环链表来做，构建一个环链表，每个结点的编号为0, 1, …… n-1。每次从当前位置向前移动m-1步，然后删除这个结点。最后剩下的结点就是胜利者。**

我们先来非递归的算法

void JosephusProblem_Solution1(int n, int m)    //n个人，每m退出
{
int  i = 0;
LinkList *pm;
LinkList *pcur;
LinkList *head = (LinkList *)malloc(sizeof(LinkList));
LinkList *plast;

pcur = head;
pcur->next = head;
head->data = 0;

//构造循环链表
for (i = 1; i <10;i++)
{
pm = (LinkList *)malloc(sizeof(LinkList));
pm->data = i;
pcur->next = pm;
pcur = pm;
}
pcur->next = head;

//over
pcur = head;

while(pcur != pcur->next)
{
//前进m-1步
for (i = 0;i<m-1;i++)
{
plast = pcur;
pcur = pcur->next;
}
//删除
plast->next = pcur->next;
free(pcur);
pcur = plast->next;
}

printf("%d ",pcur->next->data);
}

这样的效率显然不是最高的，时间复杂度o（mn），

接下来看递归算法

公里公道的说，这个递归算法真不好想。

我们先反过来想，如果只有一个人，那么他一定就是我们要求的，如果有两个人，那么他一定跟如果只有一个人的那种情况有关，通过只有一个人我们一定会得到一些线索，同理，我们算n个人的约瑟夫环，必然跟n-1个人的约瑟夫环有关，……一定跟2个人的有关，一定跟一个人的有关。那么到底有什么规律呢？这是我们即将要讨论的问题

我们假设m = 8 ， n = 3

1>>很显然第一个被删除的数是（m-1）%n

2>>假设第二轮开始的数是K，那么只有n-1个人

K -------> 0
K+1------> 1
K+2------> 2    //假设最终他是胜利者
...
k-2-----> n-2

那么我就知道，这n-1个人，如果说我们现在知道了胜利者，他的编号是X，那么说他在链表中一开始是（k+x）%n，

其中， k = m%n，带入式子我们知道其实对于n个人，胜利者的编号是（X+m）%n

还记得我们的X是什么吗？？？—>n-1个人时的胜利者

那么简而言之，要求n个人最终的胜利者，我们只需要知道n-1个人时候的情况就行了，同理要知道n-1个人必须先求出n-2个人………..必须先求出1个人的情况，一个人编号自然是0，转化成代码就是

fun(1) = 0;
fun(n) = ( fun(n-1) + m ) %n;

int JosephusProblem_Solution2(int n, int m )
{
if (n==1)
{
return 0;
}
return (JosephusProblem_Solution2(n-1, m) + m) % n;

}