车站

题目描述

Description

火车从始发站（称为第1站）开出，在始发站上车的人数为a，然后到达第2站，在第2站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第2站开出时（即在到达第3站之前）车上的人数保持为a人。从第3站起（包括第3站）上、下车的人数有一定规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第n-1站），都满足此规律。现给出的条件是：共有N个车站，始发站上车的人数为a，最后一站下车的人数是m（全部下车）。试问x站开出时车上的人数是多少？

输入输出格式 Input/output

输入格式：

a(<=20)，n(<=20)，m(<=2000)，和x(<=20)，

输出格式：

从x站开出时车上的人数。

输入输出样例 Sample input/output

样例测试点#1 输入样例：

5 7 32 4

输出样例：

13

解题思路

这个题是模拟掺杂斐波那契数列。

现在用b【i】表示第i站的上车人数，c【i】表示第i站的下车人数，sum【i】表示在第i站上下车后车上的总人数。设在第二站上车的人数为k

下面通过列举b【i】看能不能发现点什么~

b【1】：=a

b【2】：=k

b【3】：=a+k

b【4】：=a+2k

b【5】：=2a+3k

b【6】：=3a+5k

通过比较每一个b【i】的系数，可发现，从第3站开始，a和k的系数都和斐波那契数列有关系，即可以递推出b【i】。现在用fa【i】表示b【i】中a的系数，用fb【i】表示b【i】中k的系数。

b【1】：=a；c【1】：=0；b【2】：=k；c【2】：=k；

可得sum【i】:=b【1】-c【1】+b【2】-c【2】+b【3】-c【3】+b【4】-c【4】+……+b【i-1】-c【i-1】+b【i】-c【i】

= a-0+b【2】-k

+b【3】-c【3】

+b【4】-c【4】

+……

+b【i-1】-c【i-1】

+b【 i 】-c【 i 】

题目中“下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第n-1站）”，可知b【i】=c【i+1】。从而消除其中的一些项。

得：

sum【i】：=a-k+b【i】

而sum【n-1】：=a-k+b【n-1】=a-k+fa【n-1】* a+fb【n-1】 * k=m，

从而可以求出k：=(m-a-a*fa[n-1]) div (fb[n-1]-1)

那么答案sum【x】可求。

代码

var k,ans,i,a,n,m,x:longint;
fa,fb:array[1..100000]of longint;
begin
readln(a,n,m,x);
fa[1]:=1;fa[2]:=0;fa[3]:=1;fa[4]:=1;
fb[1]:=0;fb[2]:=1;fb[3]:=1;fb[4]:=2;
if n>=5 then
for i:=5 to n do
begin
fa[i]:=fa[i-1]+fa[i-2];
fb[i]:=fb[i-1]+fb[i-2];
end;
k:=(m-a-a*fa[n-1])div(fb[n-1]-1);
write(a-k+fa[x]*a+fb[x]*k);
end.

评测结果 Result
测试点 #1：通过该测试点。 得分25，耗时0ms，内存3112kB。
测试点 #2：通过该测试点。 得分25，耗时0ms，内存3117kB。
测试点 #3：通过该测试点。 得分25，耗时0ms，内存3088kB。
测试点 #4：通过该测试点。 得分25，耗时0ms，内存3088kB。