差分约束系统

差分约束系统

总结近两天的学习，真是吐血三升，尤其あなたを想っている。。。日语好高大上。。

首先引出差分约束系统的定义

引自百度百科。。。

如下

如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

接下来开始分析如何转化为图论问题

首先是>=问题求解方法（详细论述）

对于一组不等式（1）

x1-x0>=w(0,1);

x2-x1>=w(1,2);

x3-x2>=w(2,3);

x4-x3>=w(3,4);

求x0~x4的最小值。

显然 上述不等式组（1）变形得

不等式组（2）

x1>=x0+w(0,1);

x2>=x1+w(1,2);

x3>=x2+w(2,3);

x4>=x3+w(3,4);

我们定义w(i,j)为从第i个点到第j个点的边权，那么我们可以理解为从第i个点到第j个点的最近值，正好是最长路进行“松弛操作”

也即

if  dist[j]< dist[i]+w[i,j]
then dist[j]:=dist[i]+w[i,j];

即j的权值即为由第i个点恰好走最低限度的要求需要的j的值是多少。由此，我们可以得出只要这条路能走，那么j的值必然是在约束条件下的取值的极小值，因为j的值是由i按照约束条件的最低限度而转移出来的，正确性显而易见，只要走这条路得出的值必然是每个点所能取到的最小值。再根据上述的“松弛操作”即可得出从求出不等式组（1）的最小的一组解。当不等式之间出现相互约束，时该组不等式组无解，因为嘉定如下不等式组（3）

x2-x1>=w(1,2)

x1-x2>=w(2,1)

这显然是无解的

因为

既要求x2比x1大w(1,2)又要求x2比x1大w(2,1)

Obviously，（突然地高大上，(^__^) 嘻嘻……）

当x1取到某个值,x2必须至少比x1大w(1,2)；

当x2取到某个比x1大w(2,1)时又要求x1必须至少比x2大w(2,1)

显然 x1出现两个值，矛盾，由此得出无解。

说明

（解该不等式组要求w值均为非负值，由定义也可以推知，不能出现负值，因为当a比b大一个负值时，即b比a小一个正值。不等号方向便被改变。除非认为是绝对值即认为是距离才可以，那么就认为大于负值其实是小于负值，只是绝对值差要大这个值。转化为大的比小的大一个负值的相反数）。

至此将不等式组（1）转化为一张图求最长路来解得该组不等式组的充分性成立

即

满足不等式组（1）的最小解=>图中的最长路

只要走图中的这条路，必须按照约束条件来给下一个点赋值，而这个值又是按照约束条件的最低限度来赋的其值必然是最小解；

当求最长路时出现正环时显然无解。对应上述不等式组（3）

至此对于形如不等式组（1）的解决方法论证完毕。

总结

当有一组形如x-y>=z的一组不等式时可以由其建立起一张约束图，然后在这张图上跑最长路；

自然语言描述具体实现办法

因为首先不知道这张图是否为连通的，避免图不连通的情况出现，那么我们可以设置一个”超级源点”（引自多个博客的说法）；

根据题设条件将源点与所有约束图中的点连边；

例如 题中要求所有边非负

如下

xi-x0>=0

由此便可得出从源点向每条边连出一条边权为0的边

要求为大于0

即xi-x0>0

其形式不符合标准式，无法转化为约束图中的点，那么由于差分约束研究的是整数问题，那么该约束条件可以转化为

xi-x0>=1

这样就可以连出从x0到xi的边权为1的边。

跑SPFA （+SLF,LLL） 求出最长路即可。由此边求出了在约束条件下的最小解。

关于<=问题求解最大解

解决方法类似，只是全部转化为<=的形式然后跑最短路即可

总结（不详加展开，请自行论证（脑补））

同样x2-x1<=w(1,2)有x2<=x1+w(1,2)

即

if dist[x2]>dist[x1]+w(1,2)

then dist[x2]:=dist[x1]+w(1,2)

由此在约束条件下每次都是约束条件允许的最大范围中取值，由此便易推知，当跑最短路时得出的为满足约束条件的最大解。

同样的，在有负环时无解。即既要求x2比x1小w(1,2)有要求x1比x2小w（2,1）同样推出矛盾。

综上所述

当

=型 求其满足约束条件的最小解==>建图求最长路

<= 型 求其满足约束条件的最大解==>建图求最短路

无论如何都是由减数指向被减数连边且必须化成标准式，否则开区间无最值，必须等号成立。

代码明天补上。

鸣谢（万分感激教导(附带、超链接)）

Void-man

xuezhongfenfei 生活总是要微笑着面对~

有间博客

特别鸣谢

奥神t14t41t 神犇的指导，快被我气炸的说。。。

ametake。。。没啥说的。。。

半夜写博客好困。。。

!

国风·卫风·氓

　氓之蚩蚩，抱布贸丝。匪来贸丝，来即我谋。

　送子涉淇，至于顿丘。匪我愆期，子无良媒。

　将子无怒，秋以为期。

　

　乘彼垝垣，以望复关。不见复关，泣涕涟涟。

　既见复关，载笑载言。尔卜尔筮，体无咎言。

　以尔车来，以我贿迁。

　

　桑之未落，其叶沃若。于嗟鸠兮，无食桑葚！

　于嗟女兮，无与士耽！士之耽兮，犹可说也。

　女之耽兮，不可说也。

　　

　桑之落矣，其黄而陨。自我徂尔，三岁食贫。

　淇水汤汤，渐车帷裳。女也不爽，士贰其行。

　士也罔极，二三其德。

　三岁为妇，靡室劳矣；夙兴夜寐，靡有朝矣。

　言既遂矣，至于暴矣。兄弟不知，咥其笑矣。

　静言思之，躬自悼矣。

　

　及尔偕老，老使我怨。淇则有岸，隰则有泮。

　总角之宴，言笑晏晏。信誓旦旦，不思其反。

　反是不思，亦已焉哉！

　翻译（醉了。。。）

　　无知农家小伙子，怀抱布匹来换丝。其实不是真换丝，找此借口谈婚事。

　　送你渡过淇水西，到了顿丘情依依。不是我要误佳期，你无媒人失礼仪。

　　希望你不要生气，我们以秋天为期。

　　登上那堵破土墙，面朝复关凝神望。复关遥远不得见，心里忧伤泪千行。

　　情郎忽从复关来，又说又笑喜洋洋。你去卜卦问吉祥，卦象吉祥心欢畅。

　　赶着你的车子来，把我财礼往上装。

　　桑树叶子未落时，挂满枝头绿萋萋。唉呀那些斑鸠呀，别把桑叶急着吃。

　　唉呀年轻姑娘们，别对男人情太痴。男人要是迷恋你，要说放弃也容易。

　　女子若是恋男子，要想解脱不好离。

　　桑树叶子落下了，又枯又黄任飘零。自从嫁到你家来，三年挨饿受清贫。

　　淇水滔滔送我归，车帷溅湿水淋淋。我做妻子没差错，是你奸刁缺德行。

　　做人标准你全无，三心二意耍花招。

　　婚后三年为你妇，繁重家务不辞劳。早起晚睡不嫌苦，忙里忙外非一朝。

　　你的目的一达到，逐渐对我施凶暴。兄弟不知我处境，个个见我都讥笑。

　　静下心来想一想，独自黯然把泪抛。

　　白头偕老当年誓，如今未老生怨愁。淇水滔滔终有岸，沼泽虽宽有尽头。

　　回想少时多欢聚，说笑之间情悠悠。