Ray Box求交点

Ray与Box的定义：

class Ray
{
// data member
Vector3f Origin;
Vector3f Direction;
}

class Box
{
// data member
Vector3f Center;

float Extents[3];
Vector3f Axis[3];
}

Box可以看成由三组平面所构成的平行平面空间（slab）的交集

Ray与Box相交等同于Ray与三个slab都存在交集

Ray使用参数方程表示：

P(t)=O+t∗dir−→

Slab表示为：

P∗ni→=d

∴t=d−O∗ni→ni→⋅dir→

为了计算方便，将OBB转换为AABB，将Ray投影到AABB的三个轴上，从而将Ray转换到以Box的Center为原点，三个Axis为坐标轴的空间里

设置以下记号：

Ray.Direction−→−−−−−−−−−−⇒dir−→

Ray.Origin⇒O

Box.Axis[i]−→−−−−−−−⇒Axis[i]−→−−−

Box.Extent[i]⇒ei

Box.Center⇒C

delta−→−−=O−C

变换后：

dir−→⇒dir−→ ′=(dir−→⋅Axis[X]−→−−−−,dir−→⋅Axis[Y]−→−−−−,dir−→⋅Axis[Z]−→−−−−)

O⇒O ′=(delta−→−−⋅Axis[X]−→−−−−,delta−→−−⋅Axis[Y]−→−−−−,delta−→−−⋅Axis[Z]−→−−−−)

Axis[X]−→−−−−⇒Axis[X]−→−−−− ′=(1,0,0)

Axis[Y]−→−−−−⇒Axis[Y]−→−−−− ′=(0,1,0)

Axis[Z]−→−−−−⇒Axis[Z]−→−−−− ′=(0,0,1)

t⇒t ′=d−O ′∗ni→ ′ni→ ′⋅dir→ ′

我们以Box的左右平行平面空间为例：

nleft−→− ′=−Axis[X]−→−−−− ′=(−1,0,0)

nright−→−− ′=Axis[X]−→−−−− ′=(1,0,0)

leftplane:P⋅nleft−→− ′=e0=−P.x

rightplane:P⋅nright−→−− ′=e0=P.x

tleft ′=e0+delta−→−⋅Axis[X]−→−−−dir→⋅Axis[X]−→−−=−e0−delta−→−⋅Axis[X]−→−−dir→⋅Axis[X]−→−−

tright ′=e0−delta−→−⋅Axis[X]−→−−dir→⋅Axis[X]−→−−=−e0+delta−→−⋅Axis[X]−→−−−dir→⋅Axis[X]−→−−

同理可得：

tbottom ′=e1+delta−→−⋅Axis[Y]−→−−−dir→⋅Axis[Y]−→−−=−e1−delta−→−⋅Axis[Y]−→−−dir→⋅Axis[Y]−→−−

tup ′=e1−delta−→−⋅Axis[Y]−→−−dir→⋅Axis[Y]−→−−=−e1+delta−→−⋅Axis[Y]−→−−−dir→⋅Axis[Y]−→−−

tback ′=e2+delta−→−⋅Axis[Z]−→−−−dir→⋅Axis[Z]−→−−=−e2−delta−→−⋅Axis[Z]−→−−dir→⋅Axis[Z]−→−−

tfront ′=e2−delta−→−⋅Axis[Z]−→−−dir→⋅Axis[Z]−→−−=−e2+delta−→−⋅Axis[Z]−→−−−dir→⋅Axis[Z]−→−−

进入slab时各入口的最大值，离开slab时各出口的最小值，即为相交区间，那么进入slab和离开slab如何用数学公式来描述呢？



如图所示，若ray从某平面进入slab，则ray与该平面的法线夹角必定大于90度(向量点积小于0)，因此，若ray从某平面离开slab，则ray与该平面法线的夹角必定小于90度（向量点积大于0）

以Box的左右平面组成的slab为例：

rightplane的法线为Axis[X]−→−−−−

若Axis[X]−→−−−−⋅dir−→<0 , 则说明光线从rightplane进入slab

∵tright ′=−e0+delta−→−⋅Axis[X]−→−−−dir→⋅Axis[X]−→−−

∴假如tright的分母大于0，说明ray从rightplane进入slab

假如tright的分母小于0，说明ray从rightplane离开slab

同理可知，当t的分母小于0，说明ray从该平面离开slab，若大于，则进入

当t的分母等于0，说明ray与该平面平行（与面法线的角度为90度）,该情况下，若分子大于0，则说明ray在box外部，否则反之。如以tleft为例：

if −e0−delta−→−−⋅Axis[X]−→−−−−>0

then delta−→−−⋅Axis[X]−→−−−−<−e0