约瑟夫问题

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约瑟夫斯问题（有时也称为约瑟夫斯置换），是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。

有

个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过

个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过

个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了

和

，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

1.问题重现：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第C个将被从圈中剔除，最后剩下一个。例如N=6，C=5，被剔除的人的序号为5，4，6，2，3，最后剩下1号。

这是C++语言常见的机试题目，以下程序实现从控制台输入人数N，C并将剔除出队列的人员编号按顺序输出到控制台上。

#include <iostream>
using namespace std;
void main()
{
int N=0,C=0;
cout<<"Please enter the number of people:N=";
cin>>N;
cout<<"Please enter:C=";
cin>>C;
int i=0,j=0,n=N,s=0;
int *a=new int
;
for (i=0;i<N;i++)
{
a[i]=1;
}

while(0!=n)
{
s+=a[j];
if(C==s)
{
a[j]=0;
s=0;
--n;
if(0!=n)
{
cout<<j+1<<"->";
}
else
{
cout<<j+1<<endl;
}
}
j=(j+1)%N;
}
delete []a;
}

程序的巧妙之处在于充分利用了0、1标志的特点：依次求和的过程中，0并不影响总和，于是不用循环判断每个元素是否为1。

2.问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1） mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2 x‘ ---> x’-k = x 所以 x’ = (x+k)

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n

f(i,k)=( f(i-1,k) +k )%i ,f(1,k)=0;

i 表示 总共的人数，k表示报到k的人出队，f(i,k) 表示一共i个人，报到k的人出列，最后留下的人的编号

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;

#define Maxn 10100

int f[Maxn];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
int n,m,k;
while(scanf(" %d %d %d",&n,&k,&m)!=EOF)
{
if(n == 0 && m == 0 && k == 0) break;
f[1] = 0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
f[i] = (f[i-1] + k)%i;
}
printf("%d\n",(f[n-1]+m)%n + 1);
}
return 0;
}