Gas Station

题目：There are N gas stations along a circular route, where the amount of gas at station i is gas[i].You
have a car with an unlimited gas tank and it costs cost[i] of
gas to travel from station i to its next station (i+1). You begin the journey with an empty tank at one of the gas stations.

Return the starting gas station's index if you can travel around the circuit once, otherwise return -1.

思路：

这道题首先是用的贪心算法，有几点需要注意：

优先选择所有加起来，sum>0的。如果能够保证从某一点到最后，sum一直大于0，说明从这个点到最后一个点没问题，

但这个时候，需要注意的是未必从前面能够走到index这个点，所以返回头继续判断，但升级版的程序就很简短，total一直做的工作就是累加

不过需要证明一圈下来sum>0，一定存在某一个解。

第一种：

假设从0到n-1，从某点a,b,c,....,a，a不能反悔，恰好停留在b，然后b不能到c，一切很巧，

sum[gas[a...b]]<sum[cost[a...b],sum[gas[b...c]]<sum[cost[b...c].....sum[gas[p...a]]<sum[cost[p...a]

sum[gas[a...b]]+sum[gas[b...c]]+sum[gas[p...a]]<sum[cost[a...b]+sum[cost[b...c]+sum[cost[p...a]

即  c*sum[gas]<c*sum[cost]，与原文矛盾

第二种

s1,s2,....sn-1能构成，这里sj代表gai[i]-cost[i]

s1+s2+....+sn-1>0,那么存在某个s，使得s>   -1(s1+s2+....+sj-1)+ (-1)(sj+1+....+sn-1)，也可以是连续的两项，都可以，即只是存在某一个解

另外，某些所谓的动态规划其实和这种思路差不多。还需要证明的就是，从a点恰好到b点，但不能到达下一个点，那么a到b任何一个点都不能到达b的下一个点

证明：从a到a与b之间任何一点 gas[i]-cost[i]都是大于0的，不然不能到达，那么从这一点到b下一点一定是负，不然加起来就是正，前面已经是正数，加起来是负数，那么后面一定是负数。就是这么证明。

代码：

//本题的集中解法本质上都一样。
//https://leetcode.com/problems/gas-station/
class Solution1 {
public:
//http://m4tiku.duapp.com/report?pid=18
int canCompleteCircuit(vector<int>& gas, vector<int>& cost) {
int startIndex=0;
int sum=0;
for(int i=0;i<=gas.size()-1;i++){
sum=sum+(gas[i]-cost[i]);
if(sum<0){
startIndex=i+1;
sum=0;
}
}
//判断是不是到了末尾
if(startIndex==gas.size()){
return -1;
}
//从startIndex之后都没有问题，但是不知道，从结尾到startIndex是不是有问题。
for(int i=0;i<startIndex;i++){
//就相当于确定了后面，继续确定前面
sum=sum+(gas[i]-cost[i]);
if(sum<0){
return -1;
}
}
return startIndex;
}
};

class Solution2 {
public:
int canCompleteCircuit(vector<int>& gas, vector<int>& cost) {
int sum=0,start,total=0;
for(int i=0;i<gas.size();i++){
sum=sum+gas[i]-cost[i];
total=total+gas[i]-cost[i];
if(sum<0){
sum=0;
start=i+1;//找到开始节点
}
}

return total>=0?start:-1;
}
};