【数论】[CQBZOJ2935]病毒分裂
2015-10-11 12:22
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题目描述
A 学校的实验室新研制出了一种十分厉害的病毒。由于这种病毒太难以人工制造 了,所以专家们在一开始只做出了一个这样的病毒。 这个病毒被植入了特殊的微型芯片,使其可以具有一些可编程的特殊性能。最重 要的一个性能就是,专家们可以自行设定病毒的分裂能力K,假如现在有x 个病 毒,下一个分裂周期将会有Kx 个一模一样的病毒。你作为该实验室的数据分析 员,需要统计出在分裂到第N 个周期前,一共有多少个病毒单体进行了分裂。一 开始时总是只有一个病毒,这个局面算作第一个周期。由于答案可能很大,专家 们只需要你告诉他们对给定的P 取模后的答案。
输入
一行三个整数,依次是K, N, P。
输出
一行一个整数,你的答案(对P 取模)
样例输入
Copy (如果复制到控制台无换行,可以先粘贴到文本编辑器,再复制)
5 3 7
样例输出
6
提示
样例一解释:第一个周期有1 个病毒,产生了一次分裂。第二个周期有1*5=5
个病毒,这五个病毒都会分裂。所以第三个周期前一共进行了1+5 等于6 次分裂。
答案即为6 mod 7 = 6
azui大神的题解。
M应该等于N-2。
然而我并没有这样做。
1+K+K^2+……+K^M=(K^(M+1)-1)/(K-1)
但最后要%p,而除法必须先于模运算
令g=m+1,K^g-1很容易让人想到平方差公式,另p=2^log2(g),r=g-p,K^g=K^p*K^r;
(k^g-1)/(k-1)=((k^(p/2)+1)(k^(p/4)+1)……(k+1)(k-1)k^r+k^r-1)/(k-1)=(k^(p/2)+1)(k^(p/4)+1)……(k+1)*k^r+(k^r-1)/(k-1);
k^r-1可以用同样的方式求解直至r=1;
A 学校的实验室新研制出了一种十分厉害的病毒。由于这种病毒太难以人工制造 了,所以专家们在一开始只做出了一个这样的病毒。 这个病毒被植入了特殊的微型芯片,使其可以具有一些可编程的特殊性能。最重 要的一个性能就是,专家们可以自行设定病毒的分裂能力K,假如现在有x 个病 毒,下一个分裂周期将会有Kx 个一模一样的病毒。你作为该实验室的数据分析 员,需要统计出在分裂到第N 个周期前,一共有多少个病毒单体进行了分裂。一 开始时总是只有一个病毒,这个局面算作第一个周期。由于答案可能很大,专家 们只需要你告诉他们对给定的P 取模后的答案。
输入
一行三个整数,依次是K, N, P。
输出
一行一个整数,你的答案(对P 取模)
样例输入
Copy (如果复制到控制台无换行,可以先粘贴到文本编辑器,再复制)
5 3 7
样例输出
6
提示
样例一解释:第一个周期有1 个病毒,产生了一次分裂。第二个周期有1*5=5
个病毒,这五个病毒都会分裂。所以第三个周期前一共进行了1+5 等于6 次分裂。
答案即为6 mod 7 = 6
azui大神的题解。
M应该等于N-2。
然而我并没有这样做。
1+K+K^2+……+K^M=(K^(M+1)-1)/(K-1)
但最后要%p,而除法必须先于模运算
令g=m+1,K^g-1很容易让人想到平方差公式,另p=2^log2(g),r=g-p,K^g=K^p*K^r;
(k^g-1)/(k-1)=((k^(p/2)+1)(k^(p/4)+1)……(k+1)(k-1)k^r+k^r-1)/(k-1)=(k^(p/2)+1)(k^(p/4)+1)……(k+1)*k^r+(k^r-1)/(k-1);
k^r-1可以用同样的方式求解直至r=1;
[code]#include<cstdio> typedef long long LL; LL k,p,ans; unsigned long long n; LL pow(LL a,LL b,LL p){ int ret=1; while(b){ if(b&1) ret=ret*a%p; a=a*a%p; b>>=1; } return ret; } LL pfc(LL a,LL Log,LL p){ LL ret=1; while(Log--){ ret=ret*(a+1)%p; a=a*a%p; } return ret; } int main() { scanf("%lld%lld%lld",&k,&n,&p); n--; unsigned long long Log; while(n){ for(Log=0;1LL<<Log<=n&&Log<64;Log++); Log--; n-=(1LL<<Log); ans=(ans+pfc(k,Log,p)*pow(k,n,p))%p; } printf("%lld\n",ans); }
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