NOIP 提高组问题求解合集（2009-2012）

自己做的或者从网上找到了这些题的题解 做成一个题集 分享一下~

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2009

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问题求解（共2题，每空5分，共计10分）

1．拓扑排序是指将有向无环图G中的所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v， 若 u，v ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前，这样的线性序列成为拓扑序列。如下的有向无环图，对其顶点做拓扑排序，则所有可能的拓扑序列的个数为_。



**由题意可知8,9可插入1到7中的任意节点中，那么我们讨论8,9并在一起插入和分开插入两种情况，7个节点有8个个空位，则有C(8,1)+c(8,2)种情况； 根据拓扑排序原理，我们在讨论删除一个节点1后的情况，5节点从2,3,4,6,7中分离开，那么我们将节点5插入2,3,4,6,7中，则有c(6,1)种情况，然后我们再继续删除节点， 由于删除节点3的时候有3,4,6；3,7,6两条路径情况

综上所诉，该排序一共有（c(8,1)+c(8,2)）c(6,1)*2=432种情况*

2．某个国家的钱币面值有1, 7, 72,73共计四种，如果要用现金付清10015元的货物，假设买卖双方各种钱币的数量无限且允许找零，那么交易过程中至少需要流通_张钱币。

**这是一道贪心题，我们先把（10015）10转化为7进制数为（41125）7，因为该国只有7^0,7^1,7^2,7^3四种钱币，我们先用贪心得到得到的钱币数为：(4*7+1)+1+2+5=37 张钱币

又因为有条件‘假设买卖双方各种钱币的数量无限且允许找零’，我们讨论个位数的5元情况我们发现可以多用一张7元钱币再找回两张1元钱币这种情况比原先决策2+1<5更优；

综上所诉，该国这次交易至少需流通(4*7+1)+1+2+（1+2）=35张钱币**

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2010

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问题求解（共2题，每空5分，共计10分）

1．LZW编码是一种自适应词典编码。在编码的过程中，开始时只有一部基础构造元素的编码词典，如果在编码的过程中遇到一个新的词条，则该词条及一个新的编码会被追加到词典中，并用于后继信息的编码。

举例说明，考虑一个待编码的信息串：“xyx yy yy xyx”。初始词典只有3个条目，第一个为x,编码为1；第二个为y，编码为2；第三个为空格，编码为3；于是串“xyx”的编码为1-2-1（其中-为编码分隔符），加上后面的一个空格就是1-2-1-3。但由于有了一个空格，我们就知道前面的“xyx”是一个单词，而由于该单词没有在词典中，我们就可以自适应的把这个词条添加到词典里，编码为4，然后按照新的词典对后继信息进行编码，以此类推。于是，最后得到编码：1-2-1-3-2-2-3-5-3-4。

我们可以看到，信息被压缩了。压缩好的信息传递到接受方，接收方也只要根据基础词典就可以完成对该序列的完全恢复。解码过程是编码过程的逆操作。现在已知初始词典的3个条目如上述，接收端收到的编码信息为2-2-1-2-3-1-1-3-4-3-1-2-1-3-5-3-6，则解码后的信息串是“ ”。

这个是不是普及组的题啊……就不说了……吧……

2．无向图G有7个顶点，若不存在由奇数条边构成的简单回路，则它至多有_ _条边。



画一个图只要保证一个回路包含4、6、8……这样的偶数条边就可以了 。共12条

3．记T为一队列，初始时为空，现有n个总和不超过32的正整数依次入列。如果无论这些数具体为何值，都能找到一种出队的方式，使得存在某个时刻队列T中的数之和恰好为9，那么n的最小值是[b]_[/b]。

本题可用抽屉原理求解。设 为各正整数值，则T的队列顺序为 a1,a2,a3… an，设bi为前i项数之和，则 b0=0，b1=a1 ，b2=a1+a2 ，b3=a1+a2+a3 …。如队列T中的数之和恰好为9，实际上即是找到某个bj和bi ，使得 bj-bi=9。由题意可知bi取值范围为1-32，现将这32个数构造为集合{1,10}, {2,11}, …, {8,17}, {18,27}, {19,28},…,{23,32} ,{24},{25},{26}，这17个集合中的任一个集合不能包含两个或两个以上的 ，否则它们的差为9。例如设n=17时，队列T为 11111111 10 11111111，即 b1=1, b2 =2,… b8=8, b9 =18, b10=19, b11=20… b17=26,它们中没有任意两个数是在同一集合内的，所以不存在数之和恰好等于9。故根据抽屉原理可得，当n=18时，至少存在两个 在同一个集合，即它们的差为9。因此，答案为n=18。

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2011

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1．平面图可以在画在平面上，且它的边仅在顶点上才能相交的简单无向图。4个顶点的平面图至多有6条边，如右图所示。那么，5个顶点的平面图至多有 _条边。



这个尽力画 反正五个点都是对称的

2．定义一种字符串操作，一次可以将其中一个元素移到任意位置。举例说明，对于字符串“BCA”可以将A移到B之前，变字符串“ABC”。如果要将字符串“DACHEBGIF”变成“ABCDEFGHI”最少需要__次操作。

****DACHEBGIF中最长的正序串为ACEGI，还剩下3个字符。

所以最少需少3次操作。**

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2012

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1.本题中，我们约定布尔表达式只能包含p,q,r三个布尔变量，以及“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（?）三种布尔运算。如果无论p,q,r如何取值，两个布尔表达式的值总是相同，则称它们等价。例如，(p∨q)∨r和p∨(q∨r)等价，p∨?p和q∨?q也等价；而p∨q和p∧q不等价。那么，两两不等价的布尔表达式最多有___个。

对于p、q、r三个变量，每个变量可取0,1两种取值，共有8种组合。 对于每种组合，代入表达式只有0和1两种答案。 因此两两不等价的表达式只有2^8=256种

2.对于一棵二叉树，独立集是指两两互不相邻的节点构成的集合。例如，图1有5个不同的独立集（1个双点集合、3个单点集合、1个空集），图2有14个不同的独立集。那么，图3有___个不同的独立集。

**树形dp

1.如果包含该根结点，则它左右孩子结点都应该不包含在独立集内（由独立集定义可知），所以总数为f（i）=g(左子树)*g（右子树）

2.如果不包含该根结点，则左右孩子可以包含在内或不包含在内因此g(i)=(f(左子树)+g（左子树）)*(f(右子树)+g（右子树）)

3.最后总数=g（树根）+f（树根）**