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最小二乘法

2015-10-10 11:08 218 查看

在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角座标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。

Y计= a0 + a1 X 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(式1-1)

其中：a0、a1 是任意实数

为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=　a0　+　a1　X)的离差(Yi　-　Y计)的平方和｀〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。

令: φ = ∑(Yi - Y计)2 　　　　　　　　　　　　　　　(式1-2)

把(式1-1)代入(式1-2)中得:

φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 　　　　　　　　　　　　　(式1-3)

当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。

　　　　　　　　　　(式1-4)

　　　　　　　　　(式1-5) 　

亦即：

m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi 　　　　　　　　　　　　　　(式1-6)

(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) 　　　　　　　　(式1-7)

得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：

a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)

a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] 　　(式1-9)

这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。

在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。

R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} 　　　　　　　(式1-10) ＊

在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。

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