2D-PCA

传统的一维PCA和LDA方法是在图像识别的时候基于图像向量，在这些人脸识别技术中，2D的人脸图像矩阵必须先转化为1D的图像向量，然后进行PCA或者LDA分析。缺点是相当明显的：

 　　一、转化为一维之后，维数过大，计算量变大。

　　二、主成分分析的训练是非监督的，即PCA无法利用训练样本的类别信息。

　　三、识别率不是很高。

本文介绍的是2DPCA，2DPCA顾名思义是利用图像的二维信息。

      2DPCA算法简介

　　设X表示n维列向量，将mxn的图像矩阵A通过如下的线性变化直接投影到X上：

　　　　　　　　　　


得到一个m维的列向量Y,X为投影轴，Y称为图像A的投影向量。最佳投影轴X可以根据特征相怜Y的散度分布情况来决定，采用的准则如下：

　　　　　　　　　　　　


其中Sx表示的是训练样本投影特征向量Y的协方差矩阵，tr(Sx)带便的是Sx的迹，但此准则去的最大的值得时候，物理意义是：找到一个将所有训练样本投影在上面的投影轴X，使得投影后的所得到的的特征向量的总体散布矩阵（样本类之间的散布矩阵）最大化。矩阵Sx可以记为如下的式子：



　所以呀，

                         　　　

　

散度的形象化理解：

　　　　　　　　　　

　　　　　　　

我们接着定义下面的矩阵：

                             　　


其中Gt被定义为图像的协方差矩阵，它是一个nxn的矩阵，我们可以后直接利用训练样本来计算Gt。假设训练样本总数为M个，训练图像样本为mxn的矩阵Aj(j=1...M),所有的训练样本的平均图像是

，则Gt可以用下面的式子计算：

　　　　　　　　　　　　　　　　


那么原式可以转化为



其中X是归一化的正交向量。这个准则就叫做广义总体散布准则。二X就使准则最大化，叫做最佳投影轴。物理意义是：图像矩阵在轴上面投影之后得到的特征向量的总体分散程度最大。

 这里的最佳投影轴Xopt是归一化的向量，使得J(X)最大化。

我们通常选取一系列的标准正交话投影轴，即设Gt的特征值从大到小，则对应的向量为：

　　


图像的特征矩阵：

      X1，...Xd可以用于特征的提取。对于一个给定的图像样本A,有下面的式子成立：





 

这样我们就得到一组投影特征向量Y1，...Yd,叫图像A的主要成分向量。2DPCA选取一定数量d的主要成分向量可以组成一个mxd的矩阵，叫图像A的特征或者特征图像，即：

　　


利用上面得到的特征图像进行分类：

         经过上面的图像特征化之后，每个图像都能得到一个特征矩阵。设有C个已知的模式分类w1,w2,.....wc，ni表示第i类的训练样本数，训练样本图像

的投影特征向量

,（i=1,2...C;j=1,2...,ni）,第i类投影特征向量的均值为

，在投影空间内部，最邻近分类规则是：如果样本Y满足：



同时最小距离分类规则是：如果样本Y满足

　　　　　　　　　　　　　　


allsamples=[];
global pathname;
global Y;
global x;
global p;
global train_num;
global M;
global N;
M=112;%row
N=92;%column
train_num=200;
Gt=zeros(N,N);
pathname='C:\matlabworkspace\mypca\ORL\s';
for i=1:40
suma=zeros(M,N);
for j=1:5
a=imread(strcat(pathname,num2str(i),'\',num2str(j),'.pgm'));
a=double(a);
suma=suma+a;
end
averageA=suma/5;
for j=1:5
a=imread(strcat(pathname,num2str(i),'\',num2str(j),'.pgm'));
a=double(a);
Gt=Gt+(a-averageA)'*(a-averageA);
end
end

Gt=Gt/train_num;

[v d]=eig(Gt);
for i=1:N
dd(i)=d(i,i);
end
[d2 index]=sort(dd,'descend');

cols=size(v,2)
for i=1:cols
dsort(:,i)=v(:,index(i));
end

dsum=sum(dd);
dsum_extract=0;

p=0;
while(dsum_extract/dsum<0.8)
p=p+1;
dsum_extract=dsum_extract+dd(p);
end
x=dsort(:,1:p);
x
p
size(x)
Y=cell(40);
for i=1:40
tempA=zeros(M,N);
for j=1:5
a=imread(strcat(pathname,num2str(i),'\',num2str(j),'.pgm'));
a=double(a);
tempA=tempA+a;
end
tempA=tempA/5;
Y(i)=mat2cell(tempA*x);
end

%test course

accu=0;
for i=1:40
for j=6:10
a=imread(strcat(pathname,num2str(i),'\',num2str(j),'.pgm'));
a=double(a);
tempY=a*x;
tempindex=1;
tempsum=10000000;
for k=1:40
sumlast=0.0;
YY=cell2mat(Y(k));

for l=1:p
sumlast=sumlast+norm(tempY(:,l)-YY(:,l));
end

if(tempsum>sumlast)
tempsum=sumlast;
tempindex=k;
end
end
if tempindex==i
accu=accu+1;
end
end
end
accuracy=accu/200


结果：