登山

题目大意

在一个网格图中，不能跨越y=x这条直线，只能向右或向上走，问从(0,0)走到(n,n)不经过m个关键点中任意一个的方案数，答案模10^9+7。

任意两点间方案

我们先解决从(i,j)走到(k,l)不跨越y=x，方案是多少。

不跨越y=x，就是不经过y=x+1。

我们知道(i,j)到(k,l)的所有方案为Ck−ik−i+l−j

意思是一共要走k-i+l-j步，其中有k-i步要向上。

再算出非法方案。

可以作(k,l)关于y=x+1的对称点(l-1,k+1)。

那么(i,j)到(l-1,k+1)的每一条路径都可以对应为(i,j)到(k,l)的一条路径，且这条路径经过了y=x+1，因此为非法路径。

非法路径方案数为Cl−1−ik−i+l−j

因此便可算出合法路径方案。

DP

将(0,0)和(n,n)分别当作第0与第m+1个关键点。

排一个序，按照包含关系，也就是x第一关键字，y第二关键字从小到大。

calc(i,j)表示从第i个关键点走到第j个关键点不经过y=x+1的方案数。

设f[i]表示从第0个关键点走到第i个关键点只经过了这两个关键点的方案数。

设g[i]表示从第0个关键点走到第i个关键点至少经过三个关键点的方案数。

显然f[i]=calc(0,i)-g[i]。

为了不重复，g[i]的转移也显然

g[i]=∑i−1j=1f[j]∗calc(j,i)。

答案便是f[m+1]。