UVA Live Archive 4015 Cave （树形dp，分组背包）

和Heroes Of Might And Magic 相似，题目的询问是dp的一个副产物。

距离是不好表示成状态的，但是可以换一个角度想，如果知道了从一个点向子树走k个结点的最短距离，

那么就可以回答走x距离能访问到的最大结点数量。

当访问了一棵子树，想要访问子树外的结点时，一定要先从子树的根结点出来。

状态可以定义为dp[u][k][?]，u表示根节点，k表示访问u的k个子结点，?的取值为0和1表示 不回到u 和 回到u。

不难想到转移过程:

dp[u][k][0] <- dp[u][a][1] + dp[v][b][0] 或 dp[v][b][1] + dp[u][a][0]

dp[u][k][1] <- dp[u][a][1] + dp[v][b][1]

k = a+b+1, v 是 u的子节点

边界为 dp[u][0][0] = dp[u][0][1] = 0表示停留在u.

困难的是转移的顺序，必须保证重复走一个结点只算一次，

实际计算的时候我们只能一个一个的枚举v，对于枚举到v的结点数量b只能从没有考虑过v结点的状态转移。

把结点数量看出物品，v的结点数实际上是一组物品，不能同时选。

剩下和分组背包差不多。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define PS push

const int maxn = 505;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int hd[maxn], nx[maxn], to[maxn], ec;
void add(int u,int v)
{
to[ec] = v;
nx[ec] = hd[u];
hd[u] = ec++;
}

int fa[maxn], dist[maxn], deg[maxn], sz[maxn];
int ks;
int n;

int dp[maxn][2][maxn];

int sol()
{
queue<int> q;
for(int i = 0; i < n; i++){
if(!deg[i]) { q.PS(i);  }
}
int u;
while(q.size()){
u = q.front(); q.pop();
sz[u] = 1;
dp[u][0][0] = dp[u][1][0] = 0;
for(int i = hd[u]; ~i; i = nx[i]){
int v = to[i];
sz[u] += sz[v];
for(int k = sz[u]-sz[v]; k < sz[u]; k++) dp[u][0][k] = dp[u][1][k] = INF;
for(int k = sz[u]-1; k > 0; k--){//从大到小枚举k 保证是上一组的状态转移过来
for(int a = min(sz[v],k)-1; a >= 0; a--){//先枚举k，然后枚举物品保证组内物品不会同时选到
int b = k-1-a;
//知道dp[v][b][0] 和 dp[v][b][1] 以后新增加的路径
dp[u][0][k] = min(dp[u][0][k],min(dp[u][0][b]+dp[v][1][a]+dist[v],dp[u][1][b]+dp[v][0][a])+dist[v]);
dp[u][1][k] = min(dp[u][1][k],dp[u][1][b]+dp[v][1][a]+dist[v]*2);
}
}
}
if(!--deg[fa[u]]) q.PS(fa[u]);//fa[root]虽然不确定,但是在0~500内且deg = 0
}
return u;
}

//#define LOCAL
int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
while(scanf("%d",&n),n){
memset(deg,0,sizeof(deg));
memset(hd,-1,sizeof(hd)); ec = 0;
for(int i = 1; i < n; i++){
int u,f,d; scanf("%d%d%d",&u,&f,&d);
fa[u] = f; dist[u] = d;
add(f,u); deg[f]++;
}
printf("Case %d:\n",++ks);
int *ans = dp[sol()][0];
int Q; scanf("%d",&Q);
while(Q--){
int x; scanf("%d",&x);
printf("%d\n",upper_bound(ans,ans+n,x)-ans);//能走的最大子结点数+1
}
}
return 0;
}