小圆大圆转圈问题

由一道习题引发的联想

题1. 北师大版《数学》九年级下册127页有这样一道题：

如图1，取两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌面上，另一枚沿着固定硬币的边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？



图1
分析：初见此题，似乎无从下手，但只要仔细琢磨，认真审题，就会找到解决问题的突破口。此问题中共有两圆，一为定圆，另一为滚圆，滚圆大小不变，位置在动，其决定因素是圆心。观察滚圆的圆心，易知它到定圆圆心的距离为定值，滚圆沿着定圆运动一圈的长度为滚圆圆心的轨迹长度，即以定圆的圆心为圆心，以两圆半径的和为半径的圆的周长。而滚圆自身转动走过的长度应为其周长。故若设圆的半径为r，则滚圆自身滚动的圈数为

。

由此得到，对于滚圆问题，无论滚圆沿着直线滚动还是曲线滚动，只需求出圆心轨迹的长度s和滚圆的半径r，就可以按照公式

求出滚圆自身滚动的圈数。若滚圆的圆心轨迹为圆，滚圆自身滚动的圈数，等于圆心轨迹圆的半径与滚圆自身半径的比值。

问题1：⊙A的半径是⊙B半径的3倍，当⊙B与⊙A相切并沿圆周滚动1周（无滑动）时，它自身绕圆心旋转的圈数是多少？

分析：设⊙B的半径为r，则⊙A的半径为3r。这里⊙A固定，⊙B自身滚动，并且⊙B的圆心轨迹是以A为圆心，以线段AB的长度为半径的圆。因此，⊙B自身绕圆心旋转的圈数为线段AB的长度与r的比值。又⊙A与⊙B相切，故有内切或外切两种可能。当两圆内切时（如图2），⊙B自身绕圆心旋转的圈数为

；当两圆外切时（如图3），⊙B自身绕圆心旋转的圈数为

。



图2 图3
问题2：如图4，半径为r的圆在长为

的线段AB上作无滑动滚动，当圆从点A滚动到点B时，滚动的圆自身转了多少圈？



图4
分析：由于滚圆沿着直线滚动，滚圆的圆心轨迹的长度等于线段AB的长度，因此滚圆自身滚动的圈数为

。

问题3：如图5，半径为r的圆在周长为

的正六边形外边无滑动滚动，绕完6边后，滚动的圆自身转了多少圈？



图5
分析：当圆转到B边时，为了要转到BC边上去，它连同它的圆心转了和

外角（

）相等的度数，在这个转弯过程中圆并没有沿BC滚动，在这里产生了比沿线段滚动多出来的旋转，滚完6边共多旋转了

，即多转1圈。所以滚圆自身滚动的圈数

。

思考题：

如图6，滚柱轴承外圈大圆是外轴瓦，内圈小圆是内轴瓦，中间是滚柱，内轴瓦固定，当外轴瓦转动时，通过摩擦带动滚柱转动，转动时没有滑动。若外轴瓦直径是内轴瓦直径的1.5倍（不考虑轴瓦厚度），当外轴瓦转动1周时，滚柱自转了几圈？



图6



为什么会是6呢，主要还是要找好参照物，在不滑动的情况下，滚柱上每个点相对于小球球心的运动路程为2πR。