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HDU 5468 Puzzled Elena(容斥原理+dfs)

2015-10-03 16:07 295 查看
题意:给出一棵树,每个点有一个权值,问每个点和以它为根的子树中的互质的个数。

思路:首先考虑线性结构上的该问题,即给出一个序列a(a中有m个元素),并给出一个数n,求前面数中与n互质的个数。

对于这个子问题,我们可以用容斥来做,

用sumv[i]记录a中i的倍数有多少个,因为每个数小于100000,所以每个数有最多不超过6个不同的质因子,可以先预处理出所有数的不同的质因子,然后O(n)把序列扫一遍并对每个元素用状态压缩的方法求出它的所有约数再更新sumv,

对n分解质因子,假设n=p1*p2*...*pw,那么利用容斥,答案就是

m-sigma(sumv[pi])+sigma(sumv[pi*pj])-sigma(sumv[pi*pj*pk])+...(i , j, k不相等)

这道题无非就是把线性序列上的问题搞到了树上,我们只需要利用dfs的特性,还是用sumv[i]记录树中i的倍数有多少个,当dfs到某一个结点cur时,我们只需要在dfs它的子树之前记录sumv的值,然后当dfs完子树回溯到cur时,我们用这两个值做差就是以cur为根的子树中的sumv值,然后最后计算完当前结点的答案后更新sumv,

因为并不是所有sumv值我们都需要,最多只需要2^6个,所以我们开一个70左右的数组即可,这样最坏空间复杂度是当树退化为一条链时的情况,大概为O(2^6*n),时间复杂度为O(2^6*n+n*logn),n*logn是预处理所有数的质因子的复杂度。

网上说容斥比莫比乌斯慢很多,其实这么做时间上还是挺快的(没有图我说个贾斯丁碧波)



#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
#define eps 1e-6
#define LL long long
#define pii pair<int, int>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;

const int MAXN = 100010;
vector<int> prime_fac[MAXN];
vector<int> G[MAXN];
int n, sumv[MAXN], w[MAXN], ans[MAXN], des[MAXN];
bool vis[MAXN];
void init() {
for(int i = 2; i <= 100000; i++) if(!vis[i]) {
for(int j = i; j <= 100000; j+=i) vis[j] = 1, prime_fac[j].push_back(i);
}
}
void dfs(int cur, int fa) {
int pre[70];
int sz = prime_fac[w[cur]].size();
int maxS = 1 << sz;
for(int i = 1; i < maxS; i++) {
int tmp = 1;
for(int j = 0; j < sz; j++) {
if((1<<j) & i) tmp *= prime_fac[w[cur]][j];
}
pre[i] = sumv[tmp];
}
des[cur] = 1;
for(int i = 0; i < G[cur].size(); i++) {
int u = G[cur][i];
if(u==fa) continue;
dfs(u, cur);
des[cur] += des[u];
}
for(int i = 1; i < maxS; i++) {
int tmp = 1, op = 1;
for(int j = 0; j < sz; j++) {
if((1<<j) & i) tmp *= prime_fac[w[cur]][j], op *= -1;
}
int shit = sumv[tmp] - pre[i];
ans[cur] += op * shit;
sumv[tmp]++;
}
ans[cur] += des[cur]-1;
if(w[cur]==1) ans[cur]++;
}
int main() {
//freopen("input.txt", "r", stdin);
init();
int kase = 0;
while(scanf("%d", &n) == 1) {
for(int i = 1; i <= n; i++) G[i].clear();
memset(sumv, 0, sizeof(sumv));
memset(ans, 0, sizeof(ans));
for(int i = 1,u,v; i < n; i++) {
scanf("%d%d", &u, &v);
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
dfs(1, 0);
printf("Case #%d:", ++kase);
for(int i = 1; i <= n; i++) printf(" %d", ans[i]);
puts("");
}
return 0;
}




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