算法导论第九章中位数和顺序统计量（选择问题）

　　本章如果要归结成一个问题的话，可以归结为选择问题，比如要从一堆数中选择最大的数，或最小的数，或第几小/大的数等， 这样的问题看似很简单，似乎没有什么可研究的必要，因为我们已经知道了排序算法，运用排序+索引的方式不就轻松搞定了？但细想，排序所带来的时间复杂度是不是让这个问题无形之中变得糟糕。那算法研究不就是要尽可能避免一个问题高复杂度地解决，让那些不敢肯定有无最优解的问题变得不再怀疑，这也是算法研究者所追求的一种极致哲学。既然排序让这个问题解决的性能无法确定，那我们就抛开排序，独立研究问题本身，看有没有确定性的，且更优的解决之道，所以，这就是本章所探讨的问题。

一、中位数和顺序统计量

中位数：用非形式化的语言描述：中位数表示这样的一位数，它所属集合的“中点元素”。如果集合元素n为奇数，则中位数为(n+1)/2处；如果n为偶数，则中位数出现在n/2（下中位数）和n/2+1（上中位数）处，一般无特殊说明，我们都取下中位数。

顺序统计量：在一个n个元素组成的集合中，第i个顺序统计量是该集合中第i小的元素。

最大值：第1个顺序统计量。

最小值：第n个顺序统计量。

选择问题：给定一个包含n个元素的集合A和一个整数i，1<=i<=n，我们需要得到一个整数x，其中有i-1个元素小于它，即第i个顺序统计量。

前面说过，这个问题最直观的解法是通过排序+索引的方式，但排序算法有多种，且时间复杂度略高。我们需要更低时间复杂度来解决这个问题，要求线性时间，即O(n)。我们总结下算法导论上提出的方法，一步步展示如何O(n)来解决这个问题。

二、最大值、最小值

1、O(n)求最大值、最小值

　　这个采用最直观朴素的解法就能解决，我们取个名字吧，叫做“锦标赛法”。就是一个个比较，时间复杂度O(n)，已经没有比这更优的了。代码如下：

/***********线性时间求最小值************/
int Minimun(int arr[], int n)
{
int nMin = arr[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
//min
if(nMin > arr[i])
nMin = arr[i];
//max
//         if (nMax < arr[i])
//             nMax = arr[i];
return nMin;
}

2、3/2n次比较同时求最大最小值

　　按照锦标赛法，同时求最大最小值，需要2(n-1)次比较，但是换一种思路，我们没必要一个元素比较两次，而是两个元素比较一次，然后得出大小关系，在分别和最大、最小值比较，这样两个元素就只用比较3次，总共就是3/2n次。这里要分奇偶数看待，但不管奇偶，都需要3/2n次。比较次数减少了，时间也就降低了。代码如下：

#include <iostream>
#include <cassert>
using namespace std;

void Swap(int &m , int &n);
int Partition(int arr[], int nLeft, int nRight, int nMedian);
int Find(int arr[], int nLeft, int nRight);
int Insert(int arr[], int nLeft, int nRight);
int Select(int arr[], int nLeft, int nRight, int nMin);

int Select(int arr[], int nLeft, int nRight, int nMin)
{
assert(nLeft <= nRight);
assert(nMin <= (nRight-nLeft+1));

if (nLeft == nRight)
return arr[nLeft];

int nMedian = Find(arr, nLeft, nRight);
int nMid = Partition(arr, nLeft, nRight, nMedian);

int k = nMid - nLeft + 1;
if (k == nMin)
return arr[nMid];
else if (k > nMin)
return Select(arr, nLeft, nMid - 1, nMin);
else
return Select(arr, nMid + 1, nRight, nMin-k);
}

//找到数组中中位数的中位数
int Find(int arr[], int nLeft, int nRight)
{
int nLen = nRight - nLeft + 1;

int *pMedian = new int[nLen/5+1];

int nStart, nEnd;
int j = 0; //表示有几个组
for (int i = 0; i < nLen; i ++) {
if (i%5 == 0)
nStart = nLeft + i;
if ((i+1)%5 == 0 || i == nLen - 1) {
nEnd = nLeft + i;
j ++;
int nRet = Insert(arr, nStart, nEnd);
pMedian[j-1] = nRet;
}
}
int nMedian = Select(pMedian, 0, j-1, (j-1)/2);
return nMedian;
}

//对每组5个元素的数组进行插入排序，找到每组的中位数
int Insert(int arr[], int nLeft, int nRight)
{
int nLen = nRight - nLeft + 1;

for (int j = 1; j < nLen; j ++) {
int key = arr[j];
int i = j - 1;
while (i >= 0 && arr[i] > key) {
arr[i+1] = arr[i];
i--;
}
arr[i+1] = key;
}
return arr[nLen/2];
}

//略作修改过的Partition函数
int Partition(int arr[], int nLeft, int nRight, int nMedian)
{
//把中位数与看做主元，与最后一个元素交换
for (int i = nLeft; i <= nRight; i++) {
if (arr[i] == nMedian){
Swap(arr[i], arr[nRight]);
break;
}
}

int nTemp = arr[nRight];
int i = nLeft-1;
int j = nLeft;

while (j < nRight) {
if (arr[j] <= nTemp) {
Swap(arr[i+1], arr[j]);
i ++;
}
j ++;
}
Swap(arr[i+1], arr[nRight]);
return i + 1;
}

void Swap(int &m , int &n)
{
int t = m;
m = n;
n = t;
}

int main()
{
int arr[] = {7,4,6,9,2,1,5,8,3,0,12,23,78};
cout << Select(arr, 0, 12, 11) << endl;
return 0;
}

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