证明ln2=0 和 2=1
2015-10-01 18:03
465 查看
我们知道下式成立:
\begin{equation}\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots\label{eq1}\end{equation}
所以有:
\begin{equation}\ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots\label{eq2}\end{equation}
现在我们来证明 \(\ln2=0\)。
\begin{equation*}\begin{split}\ln 2 =& 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots \\\\=&\left (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots\right )-\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots\right ) \\\\=&\left (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots\right )+\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots\right )- \\\\&2\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots\right ) \\\\=&\left (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots\right )-\left (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots\right ) \\\\=&0\end{split}\end{equation*}
得证。
现在我们来证明 \(2=1\)。
已知:
\begin{equation*}\ln 2 = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\ldots\end{equation*}
两边乘以 \(2\),有:
\begin{equation*}\begin{split}2 \ln 2 =& 2-1+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{2}{5}-\frac{1}{3}+\frac{2}{7}-\frac{1}{4}+\frac{2}{9}-\frac{1}{5}+\ldots \\\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots \\\\=&\ln 2 \end{split}\end{equation*}
所以有:
\begin{equation*} 2 = 1\end{equation*}
以上这两个荒谬的结论的证明,哪里出了问题?
问题在于 \(\ln(1+x)\) 展开成的级数方程\eqref{eq1}不是绝对收敛的,而是条件收敛的,条件收敛的级数是不可以任意调整级数各项的位置的。
\begin{equation}\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots\label{eq1}\end{equation}
所以有:
\begin{equation}\ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots\label{eq2}\end{equation}
现在我们来证明 \(\ln2=0\)。
\begin{equation*}\begin{split}\ln 2 =& 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots \\\\=&\left (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots\right )-\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots\right ) \\\\=&\left (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots\right )+\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots\right )- \\\\&2\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots\right ) \\\\=&\left (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots\right )-\left (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots\right ) \\\\=&0\end{split}\end{equation*}
得证。
现在我们来证明 \(2=1\)。
已知:
\begin{equation*}\ln 2 = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\ldots\end{equation*}
两边乘以 \(2\),有:
\begin{equation*}\begin{split}2 \ln 2 =& 2-1+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{2}{5}-\frac{1}{3}+\frac{2}{7}-\frac{1}{4}+\frac{2}{9}-\frac{1}{5}+\ldots \\\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots \\\\=&\ln 2 \end{split}\end{equation*}
所以有:
\begin{equation*} 2 = 1\end{equation*}
以上这两个荒谬的结论的证明,哪里出了问题?
问题在于 \(\ln(1+x)\) 展开成的级数方程\eqref{eq1}不是绝对收敛的,而是条件收敛的,条件收敛的级数是不可以任意调整级数各项的位置的。
相关文章推荐
- Qt4 inputpanel 升级改造
- android的理解之一——实现欢迎页面的跳转
- Iterator 模式
- 可以供MFC调用的,QT实现的DLL(使用qt-solutions的qtwinmigrate实现)
- 关于nandflash与norflash
- UI:文件操作、通知中心
- Shell Step by Step (3) —— Stdin & if
- Linux/Ubuntu下 静态编译Qt程序
- SearchView+RecyclerView+GreenDao的搜索功能实现(2)
- Spring的包结构解析
- 【约数倍数算法】——求最大公约数、最小公倍数
- 将String转换成Int数组-Java
- MySQL常见备份与恢复方案 推荐
- CF GYM100548 (相邻格子颜色不同的方案数 2014西安现场赛F题 容斥原理)
- Java多线程2:Thread中的实例方法
- 大型网站特点
- 函数的返回值
- HDU-3827-The Killers of Two Kingdoms
- Linux 命令 - cat: 合并文件至标准输出
- 心路历程(三)-国庆节