例题5.5 圆桌骑士 LA3523

1.题目描述：点击打开链接

2.解题思路：本题利用二分图+双连通分量解决。首先，可以把所有相互之间不憎恨的骑士连接一条无向边，那么题目转化为在这个无向图中有多少个结点不在任何一个简单奇圈上。这里的“简单奇圈”指的是圈上顶点个数为奇数，且每个结点只会出现在一个圈中。简单圈上的点一定属于同一个双连通分量，因此需要事先找到所有的双连通分量，而二分图中是没有奇圈的，因此我们只需要关注那些不是二分图的双连通分量即可。但这里有一个问题，是不是这些双连通分量上的所有结点都在奇圈上。下面证明这是成立的。

假设u1,u2所在一个奇圈C上，那么必然存在2条从u1到u2的路径，而且长度为一奇一偶，如果新添加一个结点v,它的一条边连接u1,另一条边连接u2，可以发现，u1经过v到达u2的路径长度为偶数，加上原来存在的那个长度为奇数的路径，恰好构成一个新的奇圈。由此证明了所有点都在奇圈上。

分析至此，算法已经明朗了许多：第一步求出所有的BCC，依次考察每个BCC，如果第i个BCC不是二分图，那么把他的每个结点标记为“在奇圈上”，那么最终的答案就是n-(在奇圈上的点数)。

3.代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<list>
#include<complex>
#include<functional>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;

#define me(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair <int,int> P;

const int N=1000+10;
vector<int>g
,bcc
;
int color
;
int odd
;
int A

;
int pre
,bccno
,iscut
;
struct Edge{int u,v;};
stack<Edge>s;
int dfs_clock,bcc_cnt;

bool bipartite(int u,int b)
{
int len=g[u].size();
for(int i=0;i<len;i++)
{
int v=g[u][i];
if(bccno[v]!=b)continue;
if(color[v]==color[u])return false;
if(!color[v])
{
color[v]=3-color[u];
if(!bipartite(v,b))return false;
}
}
return true;
}

int dfs(int u,int fa)
{
int lowu=pre[u]=++dfs_clock;
int child=0;
for(int i=0;i<g[u].size();i++)
{
int v=g[u][i];
Edge e=Edge{u,v};
if(!pre[v])
{
s.push(e);
child++;
int lowv=dfs(v,u);
lowu=min(lowu,lowv);
if(lowv>=pre[u])
{
iscut[u]=1;
bcc[++bcc_cnt].clear();
for(;;)
{
Edge x=s.top();s.pop();
if(bccno[x.u]!=bcc_cnt){bcc[bcc_cnt].push_back(x.u);bccno[x.u]=bcc_cnt;}
if(bccno[x.v]!=bcc_cnt){bcc[bcc_cnt].push_back(x.v);bccno[x.v]=bcc_cnt;}
if(x.u==u&&x.v==v)break;
}
}
}
else if(pre[v]<pre[u]&&v!=fa)
{
s.push(e);
lowu=min(lowu,pre[v]);
}
}
if(fa<0&&child>1)iscut[u]=1;
return lowu;
}

void find_bcc(int n)
{
dfs_clock=bcc_cnt=0;
memset(pre,0,sizeof(pre));
memset(iscut,0,sizeof(iscut));
memset(bccno,0,sizeof(bccno));
for(int i=0;i<n;i++)
if(!pre[i])dfs(i,-1);
}

int main()
{
int rnd=0;
int n,m;
while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&n)
{
for(int i=0;i<n;i++)g[i].clear();
me(A);
for(int i=0;i<m;i++)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
u--,v--;
A[u][v]=A[v][u]=1;
}
for(int u=0;u<n;u++)
for(int v=u+1;v<n;v++)//将不相互憎恨的骑士之间加边
if(!A[u][v]){g[u].push_back(v);g[v].push_back(u);}
find_bcc(n);
memset(odd,0,sizeof(odd));
for(int i=1;i<=bcc_cnt;i++)
{
me(color);
for(int j=0;j<bcc[i].size();j++)//先给同一个BCC的结点都加上相同的编号
bccno[bcc[i][j]]=i;
int u=bcc[i][0];
color[u]=1;
if(!bipartite(u,i))//如果该BCC不是二分图，那么对它上面的所有结点做标记
for(int j=0;j<bcc[i].size();j++)
odd[bcc[i][j]]=1;
}
int ans=n;
for(int i=0;i<n;i++)
if(odd[i])ans--;
printf("%d\n",ans);
}

}