解线性同余方程—欧几里德与扩展欧几里德算法

欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。
基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
第一种证明：
     a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
　　假设d是a,b的一个公约数，则有
　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
　　因此d是(b,a mod b)的公约数
　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
　　d | b , d |r ，但是a = kb +r
　　因此d也是(a,b)的公约数
　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
第二种证明：
    要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b

    下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r）

    设  c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数

    由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，

    则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c

    b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质
  （假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1

   则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾，所以n ，m-qn一定互质）

   则gcd（b,r）=c=gcd（a,b）

   得证。
 
算法的实现：
最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：

int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
return
gcd(b,a%b);
}

int gcd(int a,int b)
{
return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

扩展欧几里德的递归代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}

扩展欧几里德非递归代码：

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{
int x1,y1,x0,y0;
x0=1; y0=0;
x1=0; y1=1;
x=0; y=1;
int r=m%n;
int q=(m-r)/n;
while(r)
{
x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
x0=x1; y0=y1;
x1=x; y1=y;
m=n; n=r; r=m%n;
q=(m-r)/n;
}
return n;
}

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

 

（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：
  对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
  上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，
   p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
   p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)

  至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
  在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解
  p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
  p * a+q * b = c的其他整数解满足：
  p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
  q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
  p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。
  相关证明可参考：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html
 
  用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
  代码如下：

bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
int d=exgcd(a,b,x,y);
if(c%d)
return false;
int k=c/d;
x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
return true;
}

(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：
    同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
    求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
    设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。
    如果 d| b，则方程a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，
    得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
    所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
    ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
    设ans=x*(b/d),s=n/d;
    方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;
    相关证明：
    证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
    由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))

                 = b (mod n)
    证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
    由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                             = a * x0 (mod n)                 (由于 d | a)
                             = b
首先看一个简单的例子：
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢？
如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之间的间隔就求出来了.
代码如下：

bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
{
int x,y,x0,i;
int d=exgcd(a,n,x,y);
if(b%d)
return false;
x0=x*(b/d)%n;   //特解
for(i=1;i<d;i++)
printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
return true;
}

（3）用欧几里德算法求模的逆元：
       同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。
      在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
      这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
      对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
      ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

来源：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

中国剩余定理 

前置技能

扩展欧几里得算法: 

求出形似 

a⋅x+b⋅y=1gcd(a,b)=1

也即 

a⋅x+b⋅y=gcd(a,b)

的一组解 x,y

问题模型

对 x 满足以下模方程

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪xmodxmodxmodxmodp1=a1p2=a2p2=a3⋮pm=amp1,p2,…,pm互质

求最小的

xmod(p1⋅p2⋅p3⋯pm)

解决方案

1> 我们先解决 m=2 的情况

{xmodp1xmodp2=a1=a2

求

xmod(p1⋅p2)
的值

我们设两个中间变量r,s,并将式子改变为

{x+r⋅p1x+s⋅p2=a1=a2

则

r⋅p1−s⋅p2=a1−a2

我们再设另外两个中间变量 r′,s′满足

{rs=r′⋅(a1−a2)=−s′⋅(a1−a2)

则上式变为

r′⋅p1+s′⋅p2=1

此时,我们可以就通过扩展欧几里得求得r′,s′了 

回带即可得到一个xmod(p1⋅p2) 的值了

2> 多个式子的合并

我们注意到两个式子合并为了一个方程

xmod(p1⋅p2)=b

这个方程的形式与其他方程的形式相同,并且模数互质,所以我们可以对这些方程两两合并

/****************************************\
* Title  : [cogs] 1786. 韩信点兵
\****************************************/
#include <cstdio>
#define Rep(i,l,r) for(i=(l);i<=(r);i++)
#define Rev(i,r,l) for(i=(r);i>=(l);i--)
#define rep(i,l,r) for(i=(l);i< (r);i++)
#define rev(i,r,l) for(i=(r);i> (l);i--)
typedef long long ll ;
typedef double lf ;
typedef long double llf ;
typedef unsigned uint ;
typedef unsigned long long ull ;
#define  Getchar()  getchar()
int CH , NEG ;
template <typename TP>
inline void read(TP& ret)
{
ret = NEG = 0 ; while (CH=Getchar() , CH<'!') ;
if (CH == '-') NEG = true , CH = Getchar() ;
while (ret = ret*10+CH-'0' , CH=Getchar() , CH>'!') ;
if (NEG) ret = -ret ;
}
template <typename TP>
inline void readc(TP& ret)
{
while (ret=Getchar() , ret<'!') ;
while (CH=Getchar() , CH>'!') ;
}
template <typename TP>
inline void reads(TP *ret)
{
ret[0]=0;while (CH=Getchar() , CH<'!') ;
while (ret[++ret[0]]=CH,CH=Getchar(),CH>'!') ;
ret[ret[0]+1] = 0 ;
}

#define  maxm  11LL
#define  abss(x)  ((x)<0?-(x):(x))

ll tmp ;
inline void exgcd(ll a, ll b, ll&x, ll&y)
{
if (b) exgcd(b,a%b,x,y) , tmp = x , x = y , y = tmp-a/b*y ;
else x = 1 , y = 0 ;
}

inline ll mul(ll a,ll b,ll module)
{
ll ret = a*b-((ll)((llf)a*b/(llf)module+1E-3))*module ;
return (ret+module)%module ;
}

ll p[maxm] , a[maxm] ;

int main()
{
int i , m ;
ll n , x , y , module ;
#define READ
#ifdef  READ
freopen("HanXin.in" ,"r",stdin ) ;
freopen("HanXin.out","w",stdout) ;
#endif
read(n) , read(m) ;
read(p[1]) , read(a[1]) ;
module = p[1] ;
Rep (i,2,m) {
read(p[i]) , read(a[i]) ;
exgcd(module,p[i],x,y) ;
if (y < 0) y += module ;
module *= p[i] ;
y = mul(y,abss(a[i]-a[i-1]),module) ;
a[i] = (a[i]-mul(abss(y),p[i],module)) % module ;
}
ll ans = n-a[m]-(n-a[m])/module*module ;
if (ans > n) puts("-1") ;
else printf("%lld\n", ans) ;
#ifdef  READ
fclose(stdin) ; fclose(stdout) ;
#else
Getchar() ; Getchar() ;
#endif
return 0 ;
}