数分一（大一） 练习题1.1-部分习题解答

P6 练习题1.1

12. 设 $a_1, a_2, \cdots, a_n (n \ge 2)$ 都是正数，且 $a_1 + a_2 + \cdots + a_n < 1$. 证明:

(1) $ \frac{1}{1 - \sum_{k=1}^n a_k} > \prod_{k=1}^n (1+a_k) > 1 + \sum_{k=1}^n a_k; $
考虑第一个不等式

$\frac{1}{1 - \sum_{k=1}^n a_k} > \prod\limits_{k=1}^n (1+a_k)$.

当 $n=2$ 时, 由于
$a_1, a_2$ 都是正数，所以

$$\begin{align*}

& (1+a_1)(1+a_2)(1- a_1 - a_2 ) \\

&= (1 + a_1 + a_2 + a_1 a_2 ) (1- a_1 - a_2 ) \\

&= 1 - (a_1 + a_2)^2 + a_1 a_2 - a_1 a_2 (a_1 + a_2) \\

&= 1 - （a_1 - a_2)^2 - a_1 a_2 - a_1 a_2 (a_1 + a_2)
\\

&< 1

\end{align*}$$

设 $n=m$时，不等式成立，即

$$\frac{1}{1 - \sum_{k=1}^m a_k} > \prod_{k=1}^m (1+a_k), $$

则对于 $n=m+1$时，由于 $a_k, k=1, \cdots, m+1$都是正数，所以有
$$\begin{align*}

& (1-\sum_{k=1}^{m+1} a_k) \prod_{k=1}^{m+1} (1+a_k)\\

&=(1-\sum_{k=1}^{m} a_k - a_{m+1}) \prod_{k=1}^{m} (1+a_k) (1+a_{m+1})\\

&= \prod_{k=1}^{m} (1+a_k) \left[ (1-\sum_{k=1}^{m} a_k) - a_{m+1}
+ (1-\sum_{k=1}^{m} a_k)a_{m+1} - a_{m+1}^2 \right] \\

&= \prod_{k=1}^{m} (1+a_k) (1-\sum_{k=1}^{m} a_k)
- \prod_{k=1}^{m} (1+a_k) a_{m+1} (1- (1-\sum_{k=1}^{m} a_k) +a_{m+1} ))\\
&< 1 - \prod_{k=1}^{m} (1+a_k) a_{m+1} (\sum_{k=1}^{m+1} a_k ) \\

& < 1.
\end{align*}$$
即对于 $n=m+1$，不等式也成立。于是对任意自然数 $n$，有
$\frac{1}{1 - \sum_{k=1}^n a_k} > \prod\limits_{k=1}^n (1+a_k)$.

第二个不等式可参考下面的例题。