偏微分方程图像处理序列——连续算子和离散算子对应
2015-09-28 23:05
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前面已经讲过了利用一些函数空间来描述图像,那么,图像自然就可以具有这些函数空间中函数的性质。首先要提的当然是梯度算子(运算),在连续函数中的导数就对应离散图像中的梯度运算,假设F(x,y)为图像对应的属于某一空间的连续函数(至少是几乎处处连续的),I(m,n)表示离散图像,那么可以这样进行理解:
x方向的导数f1(x,y):
f1(x,y) = lim_t (F(x+t,y) - F(x,y))/t (t 趋近于0) <=====> 向前差分格式: I_x (i,j)= I(i+ 1,j) - I(i,j)
f1(x,y) = lim_t (F(x,y) - F(x-t,y))/t (t 趋近于0) <=====> 向后差分格式: I_x (i,j)=I(i,j) -I(i-1,j)
f1(x,y) = lim_t (F(x+t,y) - F(x-t,y))/(2t) (t 趋近于0) <=====> 中心差分格式: I_x (i,j)= (I(i+1,j) - I(i-1,j)) /2
y方向的导数f2(x,y)类似。
那么,F(x,y)的导数为向量(f1(x,y),f2(x,y))^t,I(m,n)的导数为(I_x(i,j),I_y(i,j))
设g(x,y) = (h(x,y),l(x,y)) 为一个向量函数,即对应每一个(x,y)对应一个向量值,那么
g(x,y)的散度定义如下:
div(g(x,y)) = h1(x,y) + l2(x,y),其中h1为h的x方向导数,l2为l的y方向导数
那么,离散散度定义为:div((I_x(i,j),I_y(i,j))t) = (I(i+1,j) - I(i,j) - I(i,j) + I(i-1,j) ) + (I(i,j+1) - I(i,j) - I(i,j) - I(i,j-1),其实这里就是laplace算子了,所以,laplace算子是散度的一种特殊情况,一般情况下,在求一阶导数时用向前差分时,后一步求导就用向后差分,反之亦然。
x方向的导数f1(x,y):
f1(x,y) = lim_t (F(x+t,y) - F(x,y))/t (t 趋近于0) <=====> 向前差分格式: I_x (i,j)= I(i+ 1,j) - I(i,j)
f1(x,y) = lim_t (F(x,y) - F(x-t,y))/t (t 趋近于0) <=====> 向后差分格式: I_x (i,j)=I(i,j) -I(i-1,j)
f1(x,y) = lim_t (F(x+t,y) - F(x-t,y))/(2t) (t 趋近于0) <=====> 中心差分格式: I_x (i,j)= (I(i+1,j) - I(i-1,j)) /2
y方向的导数f2(x,y)类似。
那么,F(x,y)的导数为向量(f1(x,y),f2(x,y))^t,I(m,n)的导数为(I_x(i,j),I_y(i,j))
设g(x,y) = (h(x,y),l(x,y)) 为一个向量函数,即对应每一个(x,y)对应一个向量值,那么
g(x,y)的散度定义如下:
div(g(x,y)) = h1(x,y) + l2(x,y),其中h1为h的x方向导数,l2为l的y方向导数
那么,离散散度定义为:div((I_x(i,j),I_y(i,j))t) = (I(i+1,j) - I(i,j) - I(i,j) + I(i-1,j) ) + (I(i,j+1) - I(i,j) - I(i,j) - I(i,j-1),其实这里就是laplace算子了,所以,laplace算子是散度的一种特殊情况,一般情况下,在求一阶导数时用向前差分时,后一步求导就用向后差分,反之亦然。
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