hdu 5492 Find a path 2015合肥网络赛 dp 数学

题目

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5492

题目来源：2015合肥网络赛第二题。

简要题意：N×MN\times M的区域，一个人只能往右往下走，每个格子有个权值，要走到g[N][M]g
[M]

\qquad \quad \ \ \ \ 设路径的权值序列A1⋯AN+M−1A_1\cdots A_{N+M-1}，求(N+M−1)∑i=1N+M−1(Ai−Aavg)2(N+M−1)\sum\limits^{N+M−1}_{i=1}(A_i−A_{avg})^2最小值

数据范围：T⩽50;1⩽N,M⩽30;Ai⩽30T\leqslant 50;\quad 1\leqslant N,M\leqslant 30;\quad A_i\leqslant 30

题解

设n=N+M−1;sum=∑i=1nAi=nAavgn=N+M-1;\quad sum=\sum\limits_{i=1}^{n}A_i=nA_{avg}

首先需要化简公式：

n∑i=1n(Ai−Aavg)2=n∑i=1n(A2i−2AiAavg+A2avg)=−2nAavgsum+n2A2avg+n∑i=1nA2i=n∑i=1nA2i−sum2\begin{equation}
\begin{aligned}
n\sum\limits_{i=1}^n(A_i−A_{avg})^2 &=n\sum\limits_{i=1}^n(A_i^2−2A_iA_{avg}+A_{avg}^2)\\
&=-2nA_{avg}sum+n^2A_{avg}^2+n\sum\limits_{i=1}^nA_i^2\\
&=n\sum\limits_{i=1}^nA_i^2-sum^2
\end{aligned}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\end{equation}

由于N,M,AiN,M,A_i很小，我们可以确定sum<1800sum<1800

于是我们可以开三维数组dp[i][j][k]dp[i][j][k]表示走到g[i][j],sum=kg[i][j],sum=k的最优方案。

定义p=k−g[i][j]p=k-g[i][j]即前面一步的sumsum，可得一下转移方程：

dp[i][j][k]=⎧⎩⎨⎪⎪min(dp[i−1][j][p],dp[i][j−1][p])+ng[i][j]2+p2−k2 k⩾g[i][j]∞ else\begin{equation}
dp[i][j][k]=
\left\{
\begin{aligned}
&\min(dp[i-1][j][p],dp[i][j-1][p])+ng[i][j]^2+p^2-k^2~~~~~~~~~k\geqslant g[i][j] \\
&\infty ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~else
\end{aligned}
\right. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\qquad \qquad \qquad \qquad
\end{equation}最终结果就是mini=01800dp[N][M][i]\min\limits_{i=0}^{1800}{dp
[M][i]}

实现

实现的时候注意初始化，应该只能初始化dp[1][0][0],dp[0][1][0]dp[1][0][0],dp[0][1][0]为00，其他为∞\infty

原因是只有g[1][1]g[1][1]能够作为入口，我的队友在赛场上就发生了这样的错误。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <queue>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int,int> PII;
LL powmod(LL a,LL b, LL MOD) {LL res=1;a%=MOD;for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%MOD;a=a*a%MOD;}return res;}
// head
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 30+5;
const int M = 2000+5;

int dp

[M];
int a

;

inline int sq(int x) {
return x*x;
}

int main()
{
int t, n, m, cas = 1;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
memset(dp, INF, sizeof dp);
dp[0][1][0] = dp[1][0][0] = 0;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
scanf("%d", a[i]+j);
}
}

int step = n+m-1, p, add;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
for (int k = a[i][j]; k < M; k++) {
p = k-a[i][j];
add = step*sq(a[i][j])+sq(p)-sq(k);
dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], min(dp[i-1][j][p], dp[i][j-1][p])+add);
}
}
}

int ans = INF;
for (int i = 0; i < M; i++) {
ans = min(ans, dp
[m][i]);
}
printf("Case #%d: %d\n", cas++, ans);
}
return 0;
}