欧拉定理

我们令 Ψ(x) 定义为欧拉函数。

欧拉定理描述 ：

　　　　若 (a , p) = 1 , 那么 aΨ(p) Ξ 1 (mod p) .

证明：

　　　　先预热一下：

　　　　Ⅰ.我们令 x1 , x2 , x3 , ……, xs 为 模p 的简化剩余系 (若果对任意的1 ≤ j ≤ s , (xj , p) = 1 并且对于任意的 a ∈ Z ,若 (a , p) = 1 , 那么有且仅有一个 xj 是 a 对 模p 的剩余（及xi两两不相同) .)其中 s = ψ(p) .

　　　　Ⅱ. 若 {x1,x2,x3,……，xs} 为 mod p 的简化剩余系 ， 那么若 (k , p) = 1 , {k·x1,k·x2,k·x3,……，k·xs}也为 mod p 的简化剩余系 ， 证明：

　　　　　　　　若{k·x1,k·x2,k·x3,……，k·xs}不是 mod p的 简化剩余系 ，

　　　　　　　　那么至少存在一组 k·xi Ξ k·xj (mod p) , i != j :

　　　　　　　　　　　　∴ k · (xi - xj) Ξ 0 (mod p)

　　　　　　　　　　　　又∵ (k , p) = 1 , ∴(xi - xj) Ξ 0 (mod p) ;

　　　　　　　　　　　　这与 xi ，xj∈ {mod p 的简化剩余系} 相矛盾 ， 所以假设不成立 ， 及若 (k , p) = 1 , {k·x1,k·x2,k·x3,……，k·xs}也为 mod p 的简化剩余系成立。

　　　　

　　接下来开始真正的证明 ：

　　　　　　我们令 {a1 , a2 , a3 , …… ， an}为 mod p 的简化剩余系 ，因为欧拉定理中 (a , p) = 1 , 所以 {a·a1 , a·a2 , a·a3 , …… ，a·an} 也为 mod p 的简化剩余系 。

　　　　　　∴ a1 · a2 · a3 · …… · an Ξ a·a1 · a·a2 · a·a3 · …… · a·an Ξ aΨ(p) · a1 · a2 · a3 · …… · an (mod p) ;

　　　　　　


　　　　　


　　　　　


　　　　　　∴ aψ(p) - 1 Ξ 0 (mod p) , ∴ aψ(p) Ξ 1 (mod p) 得证 。

　　　　

欧拉定理的简单应用：

　　　　　　求 ax mod p , 其中 （a ， p）= 1 。

　　　　　　x = s · ψ(p) + q , q < ψ(p)

　　　　　　∴ ax Ξ as · ψ(p) + q Ξ (aψ(p))s · aq Ξ aq Ξ ax mod p (mod p)