电磁场的能量守恒和动量守恒

麦克斯韦方程组

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∇⋅E=ρε0∇×E=−∂B∂t∇⋅B=0∇×B=μ0j\begin{cases}
\nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\
\nabla\times\mathbf E=-\dfrac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla\cdot\mathbf B=0\\
\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf j
\end{cases}

∇⋅(∇×E)=∇⋅(−∂B∂t)=−∂(∇⋅B)∂t=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf E)=\nabla\cdot(-\dfrac{\partial B}{\partial t})=-\dfrac{\partial (\nabla\cdot \mathbf B)}{\partial t}=0

这说明前两个方程是合理、自洽的.但是

∇⋅(∇×B)=∇⋅(μ0j)=μ0(−∂ρ∂t)\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=\nabla\cdot(\mu_0\mathbf j)=\mu_0(-\dfrac{\partial\rho}{\partial t})

结果并不总是等于00,为此，Maxwell引入位移电流 jd\mathbf j_d，即

∇×B=μ0(j+jd)\nabla\times\mathbf B=\mu_0(\mathbf{ j+j}_d)

由此

∇⋅(∇×B)=∇⋅[μ0(j+jd)]=μ0[∇⋅jd−∂ρ∂t]=μ0[∇⋅jd−ε0∂(∇⋅E)∂t]=0⇒jd≡ε0∂E∂t\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=\nabla\cdot[\mu_0(\mathbf{ j+j}_d)]=\mu_0[\nabla\cdot \mathbf j_d-\dfrac{\partial\rho}{\partial t}]=\mu_0[\nabla\cdot \mathbf j_d-\varepsilon_0\dfrac{\partial(\nabla\cdot\mathbf E)}{\partial t}]=0\\\Rightarrow\mathbf j_d\equiv\varepsilon_0\dfrac{\partial \mathbf E}{\partial t}

所以方程组修改为

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∇⋅E=ρε0∇×E=−∂B∂t∇⋅B=0∇×B=μ0j+ε0μ0∂E∂t\begin{cases}
\nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\
\nabla\times\mathbf E=-\dfrac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla\cdot\mathbf B=0\\
\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf j+\varepsilon_0\mu_0\dfrac{\partial \mathbf E}{\partial t}
\end{cases}

洛伦兹力方程

宏观

F=qE+qv×B\mathbf F=q\mathbf E+q\mathbf{v\times B}

微观

f=ρE+j×B\mathbf f=\rho\mathbf E+\mathbf j\times \mathbf B

Maxwell方程组和洛伦兹力方程一起构成了经典电动力学的基础。

能量守恒

能量守恒的目标形式是

∭Wdτ−ddt∭ωdτ−∮S⋅dσ=∭Wdτ−ddt∭ωdτ−∭∇⋅Sdτ⇒W=−dωdt−∇⋅S\iiint W\mathrm d\tau-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint\omega\mathrm d\tau-\oint\mathbf S\cdot\mathrm d\sigma\\=\iiint W\mathrm d\tau-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint\omega\mathrm d\tau-\iiint\nabla\cdot\mathbf S\mathrm d\tau\\\Rightarrow W=-\dfrac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}-\nabla\cdot\mathbf S

其中WW是一定空间VV内在合体能量增加率，ω\omega是电磁场能量密度，S\mathbf S是能流密度.

W=E⋅j=E⋅(1μ0∇×B−ε0∂E∂t)=1μ0E⋅(∇×B)−ε0E⋅∂E∂t=1μ0[−∇⋅(E×B)+B⋅(∇×E)]−ε0E⋅∂E∂t=−1μ0∇⋅(E×B)+1μ0B⋅(∇×E)−ε0E⋅∂E∂t=−1μ0∇⋅(E×B)+1μ0B⋅(−∂B∂t)−ε0E⋅∂E∂t=−∇⋅[1μ0(E×B)]−12∂∂t[1μ0B2+ε0E2]\begin{array}
&W=\mathbf{E\cdot j}
\\=\mathbf E\cdot(\dfrac1{\mu_0}\nabla\times \mathbf B-\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t})
\\=\dfrac1{\mu_0}\mathbf E\cdot(\nabla\times \mathbf B)-\varepsilon_0\mathbf E\cdot\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}
\\=\dfrac1{\mu_0}[-\nabla\cdot(\mathbf E\times \mathbf B)+\mathbf B\cdot(\nabla\times \mathbf E)]-\varepsilon_0\mathbf E\cdot\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}
\\=-\dfrac1{\mu_0}\nabla\cdot(\mathbf E\times \mathbf B)+\dfrac1{\mu_0}\mathbf B\cdot(\nabla\times \mathbf E)-\varepsilon_0\mathbf E\cdot\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}
\\=-\dfrac1{\mu_0}\nabla\cdot(\mathbf E\times \mathbf B)+\dfrac1{\mu_0}\mathbf B\cdot(-\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t})-\varepsilon_0\mathbf E\cdot\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}
\\=-\nabla\cdot\left[\dfrac1{\mu_0}(\mathbf E\times \mathbf B)\right]-\dfrac12\dfrac{\partial}{\partial t}\left[\dfrac1{\mu_0} B^2+\varepsilon_0 E^2\right]
\end{array}

比较一下理想形式，可以得到

S=1μ0(E×B)ω=12(1μ0B2+ε0E2)\mathbf S=\dfrac1{\mu_0}(\mathbf E\times \mathbf B)\\\omega=\dfrac12\left(\dfrac1{\mu_0} B^2+\varepsilon_0 E^2\right)

动量守恒

动量守恒的目标形式是

∭fdτ−ddt∭gdτ−∮T⃗ ⋅dσ=∭fdτ−ddt∭gdτ−∭∇⋅T⃗ dτ⇒f=−dgdt−∇⋅T⃗ \iiint \mathbf f\mathrm d\tau-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint\mathbf g\mathrm d\tau-\oint\vec{\mathbf T}\cdot\mathrm d\sigma\\=\iiint \mathbf f\mathrm d\tau-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint\mathbf g\mathrm d\tau-\iiint\nabla\cdot\vec{\mathbf T}\mathrm d\tau\\\Rightarrow \mathbf f=-\dfrac{\mathrm d\mathbf g}{\mathrm dt}-\nabla\cdot\vec{\mathbf T}

其中f\mathbf f是一定空间VV内在合体动能增加率，g\mathbf g是电磁场动量密度，T⃗ \vec{\mathbf T}是动量流密度.

f=ρE+j×B=ε0(∇⋅E)E+(1μ0∇×B−ε0∂E∂t)×B=ε0(∇⋅E)E+1μ0(∇×B)×B−ε0∂E∂t×B\begin{array}
&\mathbf f=\rho\mathbf E+\mathbf j\times \mathbf B
\\=\varepsilon_0(\nabla\cdot \mathbf E)\mathbf E+(\dfrac1{\mu_0}\nabla\times \mathbf B-\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t})\times \mathbf B
\\=\varepsilon_0(\nabla\cdot \mathbf E)\mathbf E+\dfrac1{\mu_0}(\nabla\times \mathbf B)\times \mathbf B-\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}\times \mathbf B
\end{array}

利用Maxwell方程组的另外两个方程

0=1μ0(∇⋅B)B+ε0(∇×E)×E+ε0∂B∂t×E0=\dfrac1\mu_0(\nabla\cdot \mathbf B)\mathbf B+\varepsilon_0(\nabla\times \mathbf E)\times \mathbf E+\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}\times \mathbf E

两式相加，得

f=ε0[(∇⋅E)E+(∇×E)×E]+1μ0[(∇⋅B)B+(∇×B)×B]−ε0[∂E∂t×B−∂B∂t×E]\begin{array}
&\mathbf f=\varepsilon_0[(\nabla\cdot \mathbf E)\mathbf E+(\nabla\times \mathbf E)\times \mathbf E]+\dfrac1\mu_0[(\nabla\cdot \mathbf B)\mathbf B+(\nabla\times \mathbf B)\times \mathbf B]-\varepsilon_0\left[\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}\times \mathbf B-\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}\times \mathbf E\right]
\end{array}

因为

∇⋅(EE)=(E⋅∇)E+(∇⋅E)E(∇×E)×E=(E⋅∇)E−12∇E2\nabla\cdot(\mathbf E\mathbf E)=(\mathbf E\cdot \nabla)\mathbf E+(\nabla\cdot \mathbf E)\mathbf E\\(\nabla\times \mathbf E)\times \mathbf E=(\mathbf E\cdot\nabla)\mathbf E-\dfrac12\nabla E^2

所以

(∇⋅E)E+(∇×E)×E=∇⋅(EE)−12∇E2=∇⋅(EE)−12∇⋅(E2I⃗ )=∇⋅(EE−12E2I⃗ )(\nabla\cdot \mathbf E)\mathbf E+(\nabla\times \mathbf E)\times \mathbf E=\nabla\cdot(\mathbf E\mathbf E)-\dfrac12\nabla E^2\\=\nabla\cdot(\mathbf E\mathbf E)-\dfrac12\nabla\cdot( E^2\vec{\mathbf I})\\=\nabla\cdot(\mathbf E\mathbf E-\dfrac12 E^2\vec{\mathbf I})

同理

(∇⋅B)B+(∇×B)×B=∇⋅(BB−12B2I⃗ )(\nabla\cdot \mathbf B)\mathbf B+(\nabla\times \mathbf B)\times \mathbf B=\nabla\cdot(\mathbf B\mathbf B-\dfrac12 B^2\vec{\mathbf I})

又有

∂∂t(E×B)=∂E∂t×B+E×∂B∂t=∂E∂t×B−∂B∂t×E\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf E\times \mathbf B)=\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}\times \mathbf B+\mathbf E\times \dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}\\=\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}\times \mathbf B- \dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}\times\mathbf E

所以得到

f=−ε0∂∂t(E×B)−∇⋅(12(ε0E2I⃗ +1μ0B2I⃗ )−ε0EE−1μ0BB)\begin{array}
&\mathbf f=-\varepsilon_0\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf E\times \mathbf B)-\nabla\cdot\left(\dfrac12( \varepsilon_0E^2\vec{\mathbf I}+\dfrac1{\mu_0}B^2\vec{\mathbf I})-\varepsilon_0\mathbf E\mathbf E-\dfrac1{\mu_0}\mathbf B\mathbf B\right)
\end{array}

比较一下理想形式，可以得到

g=ε0E×BT⃗ =12(ε0E2I⃗ +1μ0B2I⃗ )−ε0EE−1μ0BB\mathbf {g}={\varepsilon_0 }\mathbf E\times \mathbf B\\\vec{\mathbf T}=\dfrac12( \varepsilon_0E^2\vec{\mathbf I}+\dfrac1{\mu_0}B^2\vec{\mathbf I})-\varepsilon_0\mathbf E\mathbf E-\dfrac1{\mu_0}\mathbf B\mathbf B

g=ε0μ0S=Sc2\mathbf g=\varepsilon_0\mu_0\mathbf S=\dfrac{\mathbf S}{c^2}

本篇主要参考俞允强《电动力学简明教程》