动态规划——最长上升子序列

问题

最长上升子序列是一类经典的动态规划问题。

分析

设一个动归数组dp，dp[i]表示以第i个数字（即Ai）结尾的最长上升子序列的长度，显然这种问题的划分满足无后效性和最优子结构。同时，可以很方便的推出递推关系
dp[i] = max{1, dp[j] +1} （j < i 且 Ai > Aj)

实现

memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i = 1; i <= n; i ++){ //数组从1开始
int max = 0;
for(int j = 1; j < i; j ++){
if(A[i] > A[j])
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
if (dp[i] > max)
max = dp[j];
}
}

复杂度分析

显然，时间复杂度为O(n^2), 空间复杂度为O(n). 其实还存在一种时间复杂度为O(n*logn)的算法，利用二分查找优化，比较复杂，就没仔细看。。