uvalive 4387 Tower - 矩阵

题目大意

给了一个数列的递推公式，

a
=2*a[2]*a[n-1]-a[n-2]

，现在让你求数列前n项平方和模M。

数据范围：1<=a[2],m<=10^9, M<=10^9, 2<=n<=10^9

思路

给出数列递推式让你求第n项或者前n项的关系时，一般都是通过构造出一个矩阵，得出第n项的矩阵递推式，然后通过矩阵快速幂来解决，这题也一样，只不过递推式稍微难想一点。

构造一个1*4的矩阵

(a
*a
, a[n-1]*a[n-1], a[n-1]*a[n-2], s[n-1]), 其中s
代表前n项平方和

s
= s[n-1] + a
^2

那么通过递推式可以得出这个矩阵的递推式，再使用快速幂就可求出答案。

/******************************************************
推公式。。
矩阵快速幂
S
表示前n项平方和
a
= 2*a2*a[n-1] - a[n-2]
p = 2*a2;
初始状态 (a[3]^2,a[2]^2,a[2]*a[1],S[2])

(a[n+1]^2,a
^2,a
*a[n-1],S
) = (a
^2,a[n-1]^2,a[n-1]*a[n-2],S[n-1])*
( p^2, 1, 0, 1)
( 1-2*p^2, 0, p, 0)
( 2*p, 0, -1, 0)
( 0, 0, 0, 1)
***********************************************/
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL a2,a3,n,mod,p;

/******************
矩阵快速幂
*******************/
const int maxn = 10;
struct Matrix{
int n,m;
LL a[maxn][maxn];

Matrix(){
memset(a,0,sizeof(a));
}

void InitOne(int x,int y){
n =x, m = y;
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<m;j++) if(i==j) a[i][j] = 1;
}
}

void debug(){
printf("n:%d m:%d\n",n,m);
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<m;j++){
cout << a[i][j] <<" ";
}
cout << endl;
}
}
};

Matrix multi(Matrix a,Matrix b){
Matrix ret;
for(int i=0;i<4;i++){
for(int j=0;j<4;j++){

for(int k=0;k<4;k++){
ret.a[i][j] += a.a[i][k]*b.a[k][j];
}
ret.a[i][j] %= mod;
}
}
return ret;
}

Matrix pow_mod(Matrix x,LL n){
Matrix res;
res.InitOne(4,4);
while(n){
if(n&1) res = multi(res,x);
n >>= 1;
x = multi(x,x);
}
return res;
}
///////////////////////////////////

LL solve(){
if(a2 == 1 || mod == 1) return n%mod;
if(n == 2) return (1 + a2*a2)%mod;

a3 = (2*a2*a2%mod - 1 + mod)%mod;
p = 2*a2%mod;

LL x[5][5] = {
{p*p%mod, 1, 0, 1},
{(1-2*p%mod*p%mod + mod)%mod, 0, p, 0},
{2*p%mod, 0, mod-1, 0},
{0, 0, 0, 1}
};

Matrix ans,start;
start.a[0][0] = a3*a3%mod;
start.a[0][1] = a2*a2%mod;
start.a[0][2] = a2%mod;
start.a[0][3] = 1+a2*a2%mod;

for(int i=0;i<4;i++){
for(int j=0;j<4;j++) ans.a[i][j] = x[i][j];
}

ans = pow_mod(ans,n-2);
long long ret = 0;
for(int i=0;i<4;i++){
ret += start.a[0][i]*ans.a[i][3]%mod;
ret %= mod;
}
return ret;
}

int main(){
//freopen("tow1.in","r",stdin);
//freopen("tow1.out","w",stdout);
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%lld%lld%lld",&a2,&n,&mod);
printf("%lld\n",solve());
}
return 0;
}