平方和的几何解释
2015-09-24 16:57
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平方和的几何解释
高斯小时候被老师问到1+2+⋯+99+100的和,聪明机智的高斯几乎脱口而出5050。在我们现在看来其实很简单,也就是一个等差数列的求和公式而已:∑i=1ni=n(n+1)2 一般地,如果等差数列{ai}的公差为d,则:∑i=1nai=n(n+1)d2
在数学中,我们经常会用到平方和的公式,但是,平方和的公式不是并非如等差数列的求和公式那般直观。因此,若想对平方和公式有更加深入的理解,几何解释是个不错的选择。
∑i=1ni2=13n(n+1)(n+12)
不失一般性,我们选取n=4来对平方和公式作几何解释。如下左图所示,我们将每个平方项表示成一些方块,然后我们将左图中的方块在右图中展开:
所以,综合上面的式子,我们有:
3∑i=1ni2=(2n+1)×(1+2+⋯+n)=(2n+1)n(n+1)2=(n+12)(n+1)n
即:
∑i=1ni2=13n(n+1)(n+12)
得证。现在,我们只要能记得上述二图, 就再也不会忘记平方和公式了。
注 :更多平方和的几何解释,详见:正整数的平方和公式是什么?怎么证明?
附 :python图代码
import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib.colors as mcolors from numpy.random import rand import numpy as np C = np.zeros([4,4]) fig2 = plt.figure() for i in range(4): for j in range(i+1): C[i,j] = C[j,i] = 0.1 * (i+1) # C[0,0] = 0.1 # C[1,0] = C[0,1] = C[1,1] = 0.2 # C[2,0] = C[0,2] = C[1,2] = C[2,1] = C[2,2] = 0.3 # C[3,0] = C[0,3] = C[1,3] = C[3,1] = C[3,2] = C[2,3] = C[3,3] = 0.4 for i in range(1,1+4): plt.subplot(2,2,i) plt.pcolor(C[:i,:i],norm=mcolors.NoNorm(),cmap='terrain',edgecolors='k',linewidths=0.3) plt.axis([0,4,0,4]) plt.show() n = 4 block_rows = n now_row = 0 A = np.zeros([n*(n+1)/2, 2*n+1]) for i in range(n): # i遍历n个blocks for block_row in range(block_rows): # block_row遍历一个block的所有行 for k in range(2*n+1): # k遍历一行的所有单元格 if k in range(n-i,n+i+1): A[now_row,k] = 0.1*(i+1) else: A[now_row,k] = 0.8+0.05*(i+1) now_row += 1 block_rows -= 1 plt.pcolor(A,norm=mcolors.NoNorm(),cmap='terrain',edgecolors='k',linewidths=0.3) plt.show()
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