BZOJ 1856 [Scoi2010]字符串 组合数

题意:

找出由n个1,m个0组成的字符串，且任意前几个字符中1的个数不能比0的个数少，询问满足要求的字符串个数。

解析:

很容易转化一下题意，转化到从一个矩阵的左下走到右上不能过某条线的方案数。

如果我们把1看作走一个向量（1,1）,0看作走一个向量（1,-1），那么我们可以把模型转化成从（0,0）走到（n+m,n-m）并且不能经过直线y=-1的方案数。

暂且不考虑限制答案显然为C(n+m,m)，如果考虑限制的话，我们看图发现经过y=-1的情况可以看作从（0,-2）出发到（n+m,n-m）的方案数。




所以不合法的方案数恰好为C(n+m,m-1)（原来能选m个0，但是现在由于纵坐标下降了2，所以只好少走一个0，多走一个1转化成m-1，当然也可以看做是(n+m-(n-m+2))>>1）

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define mod 20100403
#define N 2001000
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
ll fac
;
void init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=2000000;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*(ll)i%mod;
}
ll get_inv(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=(ret*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
ll get_c(ll n,ll m)
{
    return fac
*get_inv(fac[m],mod-2)%mod*get_inv(fac[n-m],mod-2)%mod;
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    printf("%lld\n",((get_c(n+m,m)-get_c(n+m,m-1)%mod+mod)%mod));
}