频谱分析相关知识

一．

由来

傅里叶变换（
Fourier
变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国
学者约瑟夫〃傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。


二．

概要介绍

1.

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和
/
或余弦函
数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不
同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为
热过程的解析分析的工具被提出的。——（
1
）

2.

傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。

3.

正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为
常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，
从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获
取。


三．

计算方法

连续傅里叶变换将平方可积的函数
f
（
t
）表示成复指数函数的积分或级数

形式。


这是将频率域的函数
F(
ω
)
表示为时间域的函数
f
（
t
）的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换
(inverse Fourier transform)
为




即将时间域的函数
f
（
t
）表示为频率域的函数
F(
ω
)
的积分。

一般可称函数
f
（
t
）为原函数，而称函数
F(
ω
)
为傅里叶变换的像函数，原函
数和像函数构成一个傅里叶变换对（
transform pair
）
。

四．

应用领域

傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、
统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。例如在
信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。

五．

简介离散傅里叶变换的应用。

DFT
在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的是，
所有
DFT
的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即
快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即
FFT
）是计算离散傅里叶变换及其逆变换
的快速算法。
）
。

1.
频谱分析

DFT
是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号
x(t)
均匀采样并截断以得
到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号
x(t)

频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。 2.数据压缩 由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号。 3.OFDM OFDM（正交频分复用）在宽带无线通信中有重要的应用。这种技术将带宽为N个等间隔的子载波，可以证明这些子载波相互正交。尤其重要的是，OFDM调制可以由IDFT实现，而解调可以由DFT实现。OFDM还利用DFT的移位性质，在每个帧头部加上循环前缀（Cyclic Prefix），使得只要信道延时小于循环前缀的长度，就能消除信道延时对传输的影响。 六、傅立叶变换的物理意义 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。

正是由于上述的良好性质
,
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、
概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

一．

由来

傅里叶变换（
Fourier
变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国
学者约瑟夫〃傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。


二．

概要介绍

1.

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和
/
或余弦函
数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不
同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为
热过程的解析分析的工具被提出的。——（
1
）

2.

傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。

3.

正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为
常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，
从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获
取。


三．

计算方法

连续傅里叶变换将平方可积的函数
f
（
t
）表示成复指数函数的积分或级数

形式。


这是将频率域的函数
F(
ω
)
表示为时间域的函数
f
（
t
）的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换
(inverse Fourier transform)
为




即将时间域的函数
f
（
t
）表示为频率域的函数
F(
ω
)
的积分。

一般可称函数
f
（
t
）为原函数，而称函数
F(
ω
)
为傅里叶变换的像函数，原函
数和像函数构成一个傅里叶变换对（
transform pair
）
。

四．

应用领域

傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、
统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。例如在
信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。

五．

简介离散傅里叶变换的应用。

DFT
在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的是，
所有
DFT
的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即
快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即
FFT
）是计算离散傅里叶变换及其逆变换
的快速算法。
）
。

1.
频谱分析

DFT
是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号
x(t)
均匀采样并截断以得
到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号
x(t)

频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。 2.数据压缩 由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号。 3.OFDM OFDM（正交频分复用）在宽带无线通信中有重要的应用。这种技术将带宽为N个等间隔的子载波，可以证明这些子载波相互正交。尤其重要的是，OFDM调制可以由IDFT实现，而解调可以由DFT实现。OFDM还利用DFT的移位性质，在每个帧头部加上循环前缀（Cyclic Prefix），使得只要信道延时小于循环前缀的长度，就能消除信道延时对传输的影响。 六、傅立叶变换的物理意义 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。

正是由于上述的良好性质
,
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、
概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。