51nod 1434 区间LCM

题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1434

一个整数序列S的LCM（最小公倍数）是指最小的正整数X使得它是序列S中所有元素的倍数，那么LCM(S)=X。

例如，LCM(2)=2,LCM(4,6)=12,LCM(1,2,3,4,5)=60。
现在给定一个整数N（1<=N<=1000000）,需要找到一个整数M，满足M>N，同时LCM(1,2,3,4,...,N-1,N) 整除 LCM(N+1,N+2,....,M-1,M)，即LCM(N+1,N+2,....,M-1,M)是LCM(1,2,3,4,...,N-1,N) 的倍数.求最小的M值。

Input

多组测试数据，第一行一个整数T，表示测试数据数量，1<=T<=5
每组测试数据有相同的结构构成：
每组数据一行一个整数N,1<=N<=1000000。

Output

每组数据一行输出，即M的最小值。

这道题要求LCM(1,2,3,4,...,N-1,N) 整除 LCM(N+1,N+2,....,M-1,M)。

首先很显然1—N的质因子要被N+1-M的质因子包含。

考虑1-N区间里的质数P，那么N+1-M区间里一定要包含2*P。

至于质数P^l幂次方，那么区间N+1-M区间里一定要包含2* P^l。

所以很显然，只要求出区间1-N里的最大的    质数的幂次方   ，再乘以2，就是所求的最小的M。

方法参考  线性筛法求素数 的方法。稍作修改即可。线性筛法求素数的方法可参考http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int MaxPrimNum = 78499, MaxSize = 1000001, MaxSize1 = 31251;
int MinPrime[MaxSize], MaxPrime[MaxSize];		//分别记录可以整除MaxSize的最小与最大prime的index      //MaxPrime可以改成bit类型数组来记录是否是prime或者是否是Prime幂次方
int prime[MaxPrimNum];
int result[MaxSize];
//int isNotPrime[MaxSize1];
int main()
{
int i,j,len,tmp, num_prime = 1, tmpMaxNum, T, tmpresult;
result[1] = 1;
for (i = 2; i < MaxSize; ++i)
{
if (!MinPrime[i])
{
result[i] = tmpresult = prime[len = tmpMaxNum = MaxPrime[i] = MinPrime[i] = num_prime++] = i;
}
else
{
if ((tmpMaxNum = MaxPrime[i]) == (len = MinPrime[i]))
{
result[i] = tmpresult = i;
}
else
{
result[i] = tmpresult;
}
}
//关键处1

for (j = 1,len = MinPrime[i]; j <= len && (tmp = i * prime[j]) < MaxSize; ++j)
{
MaxPrime[tmp] = tmpMaxNum;
MinPrime[tmp] = j;
}
}

scanf("%d", &T);
for (i = 0; i < T; ++i)
{
scanf("%d", &tmp);
printf("%d\n", result[tmp]<<1);
}

scanf("%d", &T);

return 0;
}

上面程序可以线性求解出所有质数，同时求出能整除一个数的最小质因子与最大质因子。只要最小质因子等于最大质因子。那么这个数就是质数的幂次。

一开始以为程序应该有些bug。

tmp = i * prime[j]

这里应该会出现int越界的情况，后来想了一下，应该不会越界。

上面程序里的MaxPrime数组其实可以不要用到，直接用一个bool数组来代替，用来表示是否是质数幂次方。当然可以也进一步缩小空间，用一个bit来表示。

并且注意到MinPrime[k]的值只在i=k之前用到，所以可以合并result数组与MinPrime数组。

以下是改写后的程序（将bool写成bit类型就不改了...）

#include<stdio.h>

const int MaxPrimNum = 78499, MaxSize = 1000001;
bool isNotPrimePower[MaxSize] = {1 ,1};
int prime[MaxPrimNum],result[MaxSize] = {0,1}, i, tmp, j, len, num_prime = 1, T, tmpresult = 1;

int main()
{
for (i = 2; i < MaxSize; ++i)
{
if (!result[i])
{
result[i] = tmpresult = prime[len = num_prime++] = i;
}
else
{
len = result[i];
if (isNotPrimePower[i])
{
result[i] = tmpresult;
}
else
{
result[i] = tmpresult = i;
}
}

for (j = 1; j <= len && (tmp = i * prime[j]) < MaxSize; ++j)
{
isNotPrimePower[tmp] = 1;
result[tmp] = j;
}
if (!isNotPrimePower[i] && j>len)
{
isNotPrimePower[tmp] = 0;
}

}

scanf("%d", &T);
for (i = 0; i < T; ++i)
{
scanf("%d", &tmp);
printf("%d\n", result[tmp] << 1);
}
return 0;
}