欧拉函数

欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

通式：φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

对于质数p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

                                 若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

欧拉函数还有这样的性质：

设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

int eular(int n) {
//欧拉函数实现
int ans = n;
for (int i = 2; i*i<=n; i++)
{
if (n%i == 0)
{
ans -= ans/i;
while (n%i == 0)
n = n/i;
}
}
if (n > 1)
ans -= ans/n;
return ans;
}

筛法实现

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
int eu[110];
for (int i = 1; i<110; i++) eu[i] = i;
for (int i = 2; i<110; i++) {
if (eu[i] == i) {
for (int j = i; j<110; j+=i) eu[j] = eu[j]/i*(i-1);
}
}
for (int i = 1; i<101; i++) cout << i<< " " << eu[i] << endl;
return 0;
}