取余与周期函数

　　如果函数y = f(x)满足f(x+nT) = f(x)，则f(x)是周期函数且f(x)的周期是T。周期函数与取余%操作相对应。比如，　　




　　由于f(x+3n) = f(x), 则函数f(x) = x%3的周期是3。

　　题目：

　　123456789101112…2014除以9的余数是 ( )

　　　　A) 1

　　　　B) 2

　　　　C) 3

　　　　D) 4

　　解答：A

　　9的余数等于数的各位加起来的和对9求余

　　=（1+2+…8+9+1+0+1+1+…+2+0+1+4）mod9

= （1+2+…8+9+10+11+…+2014）mod 9

　　令



　　则 f(x+9n) = f(x)，于是

f(1)=f(10)、f(2)=f(11)、… f(8)=f(17)、f(9)=0；

f(1)=f(-8)、f(2)=f(-7)、….

　　又 取余%满足加法律，即 f(a+b) = f(a) +f(b)

所以 f(1+2+…+8) = f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)

　= f(-8) +f(-7) + f(-6)+ f(-5) + f(5) +f(6)+f(7)+f(8)

　=f((-8) + (-7) + (-6) + (-5) +(+5) +(+ 6) +(+7) +(+8))

　=f(-8+8-7+7-6+6-5+5)

　=f(0)

　=0

　　又 f(9) =0

所以，1+2+…+9是一个循环，其和为0。

　　而 2014 = 9*223 +7 = 2007 +7

则原式 = （1+2+…8+9+10+11+…+2014）mod 9

　＝　(2007 +2008+2009+2010+2011+2012+2013+2014) mod 9

　= (0 + 1 +2+…+7)mod 9

　= (8*(0+7)/2) mod 9 = 28 mod 9

　= 1

即 选A)