基础数学总结

1.最基础的辗转相除法 O(log max(a, b))

// 复杂度O(log max(a,b))
int gcd(int a, int b){
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b, a%b);
}

2.扩展欧几里得算法 O(log max(a, b))

/*
  用于解决方程：ax + by = gcd(a, b)
  事实上，一定存在整数对(x, y)使得上述方程成立
  其返回值是gcd(a, b) 
  x y 的一组解直接通过引用返回
  这组解满足|x| <= b && |y| <= a
*/
int extgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    int d = a;
    if(b != 0){
        d = extgcd(b, a%b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else{
        x = 1; y = 0;
    }
    return d;
}

3.素数筛选 近似O(n)

int prime[maxn];         // 第i个素数（从0开始计数）
bool is_prime[maxn+1];   // is_prime[i]为true表示i是素数

int getprime(int n){     //返回值是n以内素数的个数
    int p = 0;
    for(int i = 0; i <= n; i++) is_prime[i] = true;
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(is_prime[i]){
            prime[p++] = i;
            for(int j = 2*i; j <= n; j += i)
                is_prime[j] = false;
        }
    }
    return p;
}

4.大区间素数筛选 近似O(n)

/*
  注意区间前闭后开 [a, b)
*/
typedef long long LL;
bool is_prime[maxn];             // maxn = 所给区间 [a, b) 长度最大值
bool is_prime_small[max_sqr_B];  // 这里开的区间大小是 最大的右边界B的平方根sqrt(B);

// 对区间[a, b)内的整数执行筛法。is_prime[i-a] = true 即 i是素数
void seg_sieve(long long a, long long b){
    for(int i = 0; (long long)i*i < b; i++) is_prime_small[i] = true;
    for(int i = 0; i < b-a; i++) is_prime[i] = true;

    for(int i = 2; (long long)i*i < b; i++){
        if(is_prime_small[i]){
            for(int j = 2*i; (long long)j*j < b; j += i)
                is_prime_small[j] = false;
            for(long long j = max(2LL, (a+i-1)/i)*i; j < b; j += i)
                is_prime[j-a] = false;
        }
    }
}

5.素数筛选和合数分解 O(sqrt(n))

/*
  prime[0]是素数的个数cnt prime[1~cnt]是所有的素数
  is_prime[i] = true表示 i 是素数

  fatcnt表示当前这个数 x 有几个质因子
  factor[i][0] 表示第i个质因子是factor[i][0]  数值
  factor[i][1] 表示第i个质因子有factor[i][1]个  数目
*/

int prime[maxn+1];
int is_prime[maxn+1];
void getprime(){
    memset(prime, 0, sizeof(prime));
    for(int i = 2; i <= maxn; i++){
        if(!prime[i]) prime[++prime[0]] = i;
        for(int j = 1; j <= prime[0] && prime[j] <= maxn/i; j++){
            prime[prime[j]*i] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= prime[0]; i++){
        is_prime[prime[i]] = 1;
    }
}
long long factor[100][2];
int fatcnt;
int getfactors(long long x){
    fatcnt = 0;
    long long tmp = x;
    for(int i = 1; prime[i] <= tmp/prime[i]; i++){
        factor[fatcnt][1] = 0;
        if(tmp % prime[i] == 0){
            factor[fatcnt][0] = prime[i];
            while(tmp % prime[i] == 0){
                factor[fatcnt][1]++;
                tmp /= prime[i];
            }
            fatcnt++;
        }
    }
    if(tmp != 1){
        factor[fatcnt][0] = tmp;
        factor[fatcnt++][1] = 1;
    }
    return fatcnt;
}