组合数学中的项链计数

给c种不同颜色宝石能穿成多少种长度为s的宝石项链（本质不同）

Burnside定理的应用：

当n为奇数时，有n种翻转，每种翻转都是以一个顶点和该顶点对边的中点对称。有k^(n/2+1)*n种。

当n为偶数时，有n种翻转，其中一半是以两个对应顶点，另一半是以两条对边对称。有k^(n/2+1)*n/2+k^(n/2)*n/2种。

考虑旋转：枚举旋转角度360/n*i，(0<i<=n)，也就是一个置换。经过该置换，颜色仍保持不变的着色方案有k^GCD(n,i)种。

一个长度为n的环，每i个上同一种颜色，可以上多少种颜色。

假设起点在x，则x，x+i，x+2*i，……，x+k*i，……

假设在第t次，第一次回到起点，则x=(x+t*i)%n => t*i%n=0 => t=LCM(i,n)/i=n*i/GCD(n,i)/i=n/GCD(n,i)。

那么可以上n/t种颜色，即n/(n/GCD(n,i))种，所以旋转的着色方案有k^GCD(n,i)种。

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll power(ll a,ll b)
{
ll ans=1ll;
while(b)
{
if(b&1)
ans=ans*a;
a=a*a;
b=b>>1;
}
return ans;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
return b ? gcd(b,a%b)  :  a;
}
int main()
{
int c,s;
ll ans;
while(scanf("%d%d",&c,&s)!=EOF)
{
if(s&1)
ans=power(c,s/2+1)*s;
else
ans=power(c,s/2)*(s/2)+power(c,s/2+1)*(s/2);
for(int i=1;i<=s;i++)
ans+=power(c,gcd(s,i));
printf("%lld\n",(ans/2)/s);
}
return 0;
}