排列数A(n, m)的计算

排列数是在n个互不相同的数中选出m个能组成的不同次序的排列的方案数。

公式上就等于组合数*全排列，即A(n, m) = n! / (n-m)!

可以说是a1*a2*a3……*am，ai = n-m+i。所以也是一个巨大的数，在计算时通常会要求模P。

举一道题：http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=2037

给出n, m, p，求A(n, m) % p。

虽然m很小，但是鉴于n，p的范围，直接乘会爆，即使是unsigned long long也储存不下36位的数字。一开始的高精度也爆了（高精乘高精爆了表示很不理解TAT），表示无力。

那么为了不使过程量爆long long，我们回归最原始的加法运算，不过用类似快速幂的快速乘来加速这个过程。

L mult(L i, L j, L p){
L ans=0;
while(j){
if(j & 1) ans = (ans+i) % p;
i = (i+i) % p;
j >>= 1;
}
return ans;
}

还有递归式的。

L mult(L i, L j, L p){
if(j <= 1) return i*j;
L t = mult(i, j>>1, p);
t += t;
if(j & 1) t += i;
return t % p;
}

然而还有某神犇的O（1）快速乘：

原作者本题网页中见。

L mult(L x, L y, L P){
x %= P;
y %= P;
L k = x*y;
L j = (L)(((long double)x*y+0.5)/P);
L ans = ( (k - j * P) %P + P) % P;
return ans;
}

完整代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
typedef long long L;
using namespace std;

L n, m, p;

L mult(L x, L y, L P){
x %= P;
y %= P;
L k = x*y;
L j = (L)(((long double)x*y+0.5)/P);
L ans = ( (k - j * P) %P + P) % P;
return ans;
}

L calc(L l, L r, L p){
L ans = 1;
for(L i = l; i <= r; i++){
ans = mult(ans, i, p);
}
return ans;
}

int main()
{
scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &p);
printf("%lld", calc(n-m+1, n, p));
return 0;
}