(算法)最大子数组和以及最大子矩阵和
2015-09-17 22:41
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题目:
1、给定一数组,求该数组的最大子数组和;2、给定一矩阵,求该矩阵的最大子矩阵和;
思路:
1、求数组的最大子数组和很简单,可以通过动态规划来实现,假设数组为arr:假设dp[i]表示从0到i的数组的最大子数组和,那么递推关系式表示为:
dp[0]=arr[0];
dp[i]=dp[i-1]>0?dp[i-1]+arr[i]:arr[i]
2、求矩阵的最大子矩阵和看似很难,其实也可以转化为最大子数组和的问题。假设矩阵为matrix
首先,我们求出矩阵每个位置按行叠加的结果,设叠加结果矩阵为total,那么
i=0;total[0][j]=matrix[0][j]
total[i][j]=total[i-1][j]+matrix[i][j]
得到叠加结果的矩阵后,我们就可以找到任意子矩阵,例如行范围为i-j,列范围为0-f,即
i=0;result=total[j][0...f]
result=total[j][0...f]-total[i-1][0...f]
如果对result求解最大子数组和,那么就得到该子矩阵的的最大子矩阵和;
通过遍历所有的i,j,f,即可找到原始矩阵的最大子矩阵和。
代码:
#include<iostream> #include<vector> using namespace std; int MaxSubArraySum_1(const vector<int> &arr){ int n=arr.size(); if(n==0) return 0; int sum=arr[0]; int max=arr[0]; for(int i=1;i<n;i++){ if(sum>=0) sum+=arr[i]; else sum=arr[i]; if(sum>max) max=sum; } return max; } int MaxSubArraySum_2(const vector<int> &arr){ int n=arr.size(); if(n==0) return 0; vector<int> maxSub(n); maxSub[0]=arr[0]; int max=arr[0]; for(int i=1;i<n;i++){ maxSub[i]=(maxSub[i-1]>0)?(maxSub[i-1]+arr[i]):arr[i]; if(max<maxSub[i]) max=maxSub[i]; } return max; } int MaxSubMatrixSum(const vector<vector<int> > &arr){ int m=arr.size(); int n=arr[0].size(); vector<vector<int> > total(m,vector<int>(n,0)); for(int i=0;i<n;i++) total[0][i]=arr[0][i]; for(int i=1;i<m;i++){ for(int j=0;j<n;j++){ total[i][j]=total[i-1][j]+arr[i][j]; } } int max=-1000; vector<int> result(n); for(int i=0;i<m;i++){ for(int j=i;j<m;j++){ for(int f=0;f<n;f++){ if(i==0) result[f]=total[j][f]; else result[f]=total[j][f]-total[i-1][f]; } int maximal=MaxSubArraySum_2(result); if(maximal>max) max=maximal; } } return max; } int main(){ vector<vector<int> > mat={{0,-2,-7,0},{9,2,-6,2},{-4,1,-4,1},{-1,8,0,-2}}; cout<< MaxSubMatrixSum(mat); return 0; }
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