第三次作业

参考书《数据压缩导论（第4版）》 Page 100

5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a1a1a3a2a3a1 的实值标签。



答：

由题意可得：求序列a1a1a3a2a3a1 的实值标签就是求序列113231的实值标签。

设上界 u(0) =1, 下界 l(0)=0，符号集A={a1，a2，a3}，且P(a1)=0.2，P(a2)=0.3，P(a3)=0.5

由于P(x=i)=P(ai)，所以P(x=1)=P(a1)=0.2，

P(x=2)= P(a2)=0.3，

P(x=3)=P(a3)=0.5.

Fx(0)=0, Fx(1)=P(a0)+ P(a1)=0.2, Fx(2)=P(a1)+ P(a2)=0.5, Fx(3)=P(a1)+ P(a2)+P(a3)=1

又由于u(k)=l(k-1)+(u(k-1)-l(k-1))*Fx(xk)

l(k)=l(k-1)+(u(k-1)-l(k-1))*Fx(xk-1)

所以结果如下：

该序列的第一个元素为1

u(1)=l(0)+(u(0)-l(0))*Fx(1)=0+(1-0)*0.2=0.2

l(1)=l(0)+(u(0)-l(0))*Fx(0)=0+(1-0)*0=0

所以该标签的区间[0,0.2)

该序列的第二个元素为1

u(2)=l(1)+(u(1)-l(1))*Fx(1)=0+(0.2-0)*0.2=0.04

l(2)=l(1)+(u(1)-l(1))*Fx(0)=0+(0.2-0)*0=0

所以序列1 1标签的区间[0，0.04)

该序列的第三个元素为3

u(3)=l(2)+(u(2)-l(2))*Fx(3)=0+(0.04-0)*1 =0.04

l(3)=l(2)+(u(2)-l(2))*Fx(2)=0+(0.04-0)*0.5=0.02

所以该序列标签的区间[0.02，0.04)

该序列的第四个元素为2

u(4)=l(3)+(u(3)-l(3))*Fx(2)=0.02+(0.04-0.02)*0.5 =0.03

l(4)=l(3)+(u(3)-l(3))*Fx(1)=0.02+(0.04-0.02)*0.2=0.024

所以序列2 3标签的区间[0.024，0.03)

该序列的第五个元素为3

u(5)=l(4)+(u(4)-l(4))*Fx(3)=0.024+(0.03-0.024)*1=0.03

l(5)=l(4)+(u(4)-l(4))*Fx(2)=0.024+(0.03-0.024)*0.5=0.027

所以该序列标签的区间[0.027，0.03)

该序列的第六个元素为1

u(6)=l(5)+(u(5)-l(5))*Fx(1)=0.027+(0.03-0.027)*0.2=0.0276

l(6)=l(5)+(u(5)-l(5))*Fx(0)=0.027+(0.03-0.027)*0=0.027

所以该序列标签的区间[0.027，0.0276)

综上可得序列a1a1a3a2a3a1 的实值标签为：

Tx(113231)= ( u(6) + l(6) )/2

=(0.0276+0.027)/2

=0.0546/2

=0.0273

6、对于表4-9所示的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

答：

根据题意可得：

第一种方法：

#include<stdio.h>
int main()
{
int a[10];
double t,F[100];
F[0]=0,F[1]=0.2,F[2]=0.5,F[3]=1;
double l[100]={0.0},u[100]={1.0};
double tag=0.63215699;
int n=10,k;
for(k=1;k<=10;k++)
{
t=(tag-l[k-1])/(u[k-1]-l[k-1]);
if(t>F[0]&&t<F[1])
{
l[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[0];
u[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[1];
a[k]=1;
}
else if(t>F[1]&&t<F[2])
{
l[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[1];
u[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[2];
a[k]=2;
}
else

{
l[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[2];
u[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[3];
a[k]=3;
}
printf("%d",a[k]);

}
return 0;
}

调试结果如下：



综上可得：对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码结果为：3221213223。

第二种方法：

由表4-9可得： Fx(0)=0, Fx(1)=P(a0)+ P(a1)=0.2, Fx(2)=P(a1)+ P(a2)=0.5, Fx(3)=P(a1)+ P(a2)+P(a3)=1

设上界 u(0) =1, 下界 l(0)=0

u(1)=l(0)+(u(0)-l(0))*Fx(x1)= 0+(1-0)*Fx(x1)=Fx(x1)

l(1)=l(0)+(u(0)-l(0))*Fx(x1-1)= 0+(1-0)*Fx(x1-1)=Fx(x1-1)

当x1=3时，则区间为[0.5,1)，标签为0.63215699在区间为[0.5,1)内，所以满足条件；

u(2)=l(1)+(u(1)-l(1))*Fx(x2)=0.5+(1-0.5)*Fx(x2)=0.5+0.5Fx(x2)

l(2)=l(1)+(u(1)-l(1))*Fx(x2-1)=0.5+(1-0.5)*Fx(x2-1)=0.5+0.5Fx(x2-1)

当x2=2时，则区间为[0.6，0.75)，标签为0.63215699在区间为[0.6，0.75)内，所以满足条件；

u(3)=l(2)+(u(2)-l(2))*Fx(x3)=0.6+(0.75-0.6)*Fx(x2)=0.6+0.15Fx(x3)

l(3)=l(32+(u(2)-l(2))*Fx(x3-1)=0.6+(0.75-0.6)*Fx(x2-1)=0.6+0.15Fx(x3-1)

当x3=2时，则区间为[0.63,0.675)，标签为0.63215699在区间为[0.63,0.675)内，所以满足条件；

u(4)=l(3)+(u(3)-l(3))*Fx(x4)=0.63+(0.675-0.63)*Fx(x4)=0.63+0.045*Fx(x4)

l(4)=l(3)+(u(3)-l(3))*Fx(x4-1)=0.63+(0.675-0.63)*Fx(x4-1)=0.63+0.045*Fx(x4-1）

当x4=1时，则区间为[0.63,0.639)，标签为0.63215699在区间为[0.63,0.639)内，所以满足条件；

u(5)=l(4)+(u(4)-l(4))*Fx(x5)=0.63+(0.639-0.63)*Fx(x5)=0.63+0.009*Fx(x5)

l(5)=l(4)+(u(4)-l(4))*Fx(x5-1)=0.63+(0.639-0.63)*Fx(x5-1)=0.63+0.009*Fx(x5-1）

当x5=2时，则区间为[0.6318,0.6345)，标签为0.63215699在区间为[0.6318,0.6345)内，所以满足条件；

u(6)=l(5)+(u(5)-l(5))*Fx(x6)=0.6318+(0.6345-0.6318)*Fx(x6)=0.6318+0.0027*Fx(x6)

l(6)=l(5)+(u(5)-l(5))*Fx(x6-1)=0.6318+(0.6345-0.6318)*Fx(x6-1)=0.6318+0.0027*Fx(x6-1)

当x6=1时，则区间为[0.6318,0.63234)，标签为0.63215699在区间为[0.6318,0.63234)内，所以满足条件；

u(7)=l(6)+(u(6)-l(6))*Fx(x7)=0.6318+(0.63234-0.6318)*Fx(x7)=0.6318+0.00054*Fx(x7)

l(7)=l(6)+(u(6)-l(6))*Fx(x7-1)=0.6318+(0.63234-0.6318)*Fx(x7-1)=0.6318+0.00054*Fx(x7-1)

当x7=3时，则区间为[0.63207,0.63234)，标签为0.63215699在区间为[0.63207,0.63234)内，所以满足条件；

u(8)=l(7)+(u(7)-l(7))*Fx(x8)=0.63207+(0.63234-0.63207)*Fx(x8)=0.63207+0.00027*Fx(x8)

l(8)=l(7)+(u(7)-l(7))*Fx(x8-1)=0.63207+(0.63234-0.63207)*Fx(x8-1)=0.63207+0.00027*Fx(x8-1)

当x8=2时，则区间为[0.632124,0.632205)，标签为0.63215699在区间为[0.632124,0.632205)内，所以满足条件；

u(9)=l(8)+(u(8)-l(8))*Fx(x9)=0.632124+(0.632205-0.632124)*Fx(x9)=0.632124+（8.1e-5）*Fx(x9)

l(9)=l(8)+(u(8)-l(8))*Fx(x9-1)=0.632124+(0.632205-0.632124)*Fx(x9-1)=0.632124+（8.1e-5）*Fx(x9-1)

当x9=2时，则区间为[0.6321402,0.6321645)，标签为0.63215699在区间为[0.6321402,0.6321645)内，所以满足条件；

u(10)=l(9)+(u(9)-l(9))*Fx(x10)=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)*Fx(x10)=0.6321402+（2.43e-5）*Fx(x10)

l(10)=l(9)+(u(9)-l(9))*Fx(x10-1)=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)*Fx(x10-1)=0.6321402+（2.43e-5）*Fx(x10-1)

当x10=3时，则区间为[0.63215235,0.6321645)，标签为0.63215699在区间为[0.63215235,0.6321645)内，所以满足条件。

综上可得对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码结果为：3221213223

从今天起，做个幸福的人。